Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Старжинский В.М. -> "Прикладные методы нелинейных колебаний" -> 29

Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.

Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейных колебаний — М.: Наука, 1977. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): prikladniemetodi1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 87 >> Следующая

Будем искать его общее решение в виде
X = Х0 (т) + ссх^т) + сс2х2 (т) + ...
Общее решение невозмущенного (т. е. при а - 0) уравнения
(4.6) при 0 < е < 1 есть
/ М cos Rx + N sin Rx \ r--------
Xo (r) = \-MR sin Rx + NR cos Rx) (Я = К 1 - e ).
90
ВИДОИЗМЕНЕННЫЕ СИСТЕМЫ ЛЯПУНОВА
[гл. iv
Формула (2.8) даст нам для первой поправки
о
где а - вектор с компонентами М и N, а
дУд дУд дМ dN
dvg di'g дМ dN
и индекс нуль означает подстановку а = 0, х = х0 (т). Опуская очевидные
вычисления в формуле (4.7), выпишем общее решение уравнения (4.1) при 0 <
е < 1 (нетрудно получить его и для е > 1)
и = [М cos Дт + N sin Rx + av1 (x) + О (a2)] e_?T, (4.8)
где
i>i (t) = (2 [e_2?T ( - e sin 2Дт - R cos 2Rx) + R] X
X [M (M2 + 3JV2) cos Rx - N (N2 + 3M2) sin Дт] +
+ (4-3e2)-1 [e~2?T (-e sin 4Дт - 2R cos 4Дт) + 2Д] [M (M2 -
- 3TV2) cos Rx + N (N2 - 3M2) sin Дт] +
+ (4-3e2)-1[e_2?T (- e cos 4Дт + 2R sin 4Дт) +
+ e] [JV (N2 - 3M2) cos Rx - M (M2 - 3N2) sin Дт] -
- 4 [e-2" (-e cos 2Дт + R sin 2Rx) + e] (N3 cos Дт -)-+ M3 sin Rx) + 3
(M2 + N2) (1 - e-3") X
X (N cos Rx - M sin Дт)}.
Очевидно, что M = и (0), N = (1 - г2)~''2й (0).
1.5. Пружинный маятник с линейным демпфированием. Рассмотрим плоский
пружинный маятник массы т на невесомой пружине длины I в ненапряженном
состоянии и подчиняющейся закону Гука с жесткостью с (рис. 9). Пусть х и
у' = I + X + у - декартовы координаты массы т, отсчитываемые от
точки подвеса О, где К = - ста-
тическое удлинение пружины. Выберем постоянную потенциальной энергии П
силы тяжести и упругой силы пружины таким образом, чтобы она обращалась в
нуль для положения
дх"
да
СИСТЕМЫ ЛЯПУНОВА С. ДЕМПФИРОВАНИЕМ
91
статического равновесия х - у - 0; тогда
П= - mgy + -^-c [Ух2 + (/ + к + уУ - 1]й---------\-с№,
т = -т
dx у I dy
dt
dt j
Допустим, что на массу m действует еще сила сопротивления R,
пропорциональная скорости: R = -bv. Обозначим через со = = Ус/т круговую
частоту вертикальных колебаний массы на пружине и введем безразмерные
время т = со ^ и координаты ? = = хИ, т) = у/1. Тогда уравнения движения
запишутся в виде
+ Ц-Г--l+v + ^ -ll= -2е^,
m2 + (l + Y + 9)2 J dx (5Лч
V t Г 1_____________L_b_
[Yz2 + (1 + V + T])2 1 4- У J dx '
S= +
db]
Hx2
dx2
1 + v
где
к
2 Vc
- безразмерные параметры, а разложения квадратных скобок в окрестности ?
= т) = 0 начинаются с членов второй степени. При е=0 имеет место интеграл
энергии
cl
Подстановка Ляпунова
с?Т]
dx
-L у2 (Т + П)с = р = const.
Т) = Р Sini
= Р COS 1
t d\
I = pZi, = pz2
dx
(5.2)
(5.3)
приведет возмущенную систему (5.1) и интеграл (5.2) невозмущенной системы
к виду (1.8) и (1.6)
где
dz-i
и =
dp U cos О - 2ео cos2 О
d$ 1 - р-1;/sin О + е s,'n 20' '
dzl z2 - Zjp~lU cos 0 + 2eZi cos2 ft
1-p_iy sin О Ц- e sin 20 '
- V(1 + V)"1 zi - zip-'U cos 0 + p_1F - 2ez2sin2 0 1 - p-'U sin О Ц- e
sin 20
^ "I- i jjl'y" zi "H z2 + P1^ ('S'; P> zi> z2)j = Pa>
(5.4)
(5.5)
p2z2
2(1 -h v)2
0(9% V=-
p^smO (1 + V)2
0( p>)
92
ВИДОИЗМЕНЕННЫЕ СИСТЕМЫ ЛЯПУНОВА
[ГЛ. IV
и предполагается выполненным условие (1.7), т. е.
1 + б sin 20 + -дт (1 + УГ2 Pzi s *Ji в + О (р2) 0.
(5.6)
Невозмущенная система (5.4) (т. е. при е = 0) допускает порождающее
решение (см. Ill, 1, 2.3))
р0(О; ц, М, N) = р [1 + g\M2 + 7V2)]-'/2 + О (р2),
z\ (О; р, М, N) - М cos gft + N sin gft + О (p), (5.7)
z°2 (О; p, M, N) = g (-M sin gO + N cos g6) + О (p),
где
g
+ ]/ T
i=h±)-
+ У \° ' 2
Это решение, как показано в п. III, 1.2, является общим при всех у, кроме
у = В нашем примере векторы а и х0 суть
где
Вычислим элементы формулы (2.6):
к-ч> + о (р) - ётк^+ + о (р2) _ giNK.-3^ + о (р*)
Ф(6) + 0(р) cosg6 + 0(p) sin g6 + 0(р)
ф (6) + О (р) - g sin g6 + О (р) g cos g6
+ О (p)
К = 1 + g2 (M2 + N2).
ten
da
При вычислении обратной матрицы несколько огрубим результат, положив ф
(О) = ф (О) = 0; тогда получим для (dxjda)*1 выражение
" кЧ' + о (р) g2K^L (6) Р + о (р2) K-'V (6) р + О (Р2)
О (р) cos g6 + О (р) - g_1 sin g6 + О (р)
О (р) sin g6 + О (р) g-1 cos g6 + О (р)
да
где L (О) = М cos gO + N sin gO.
Вектор (<5f/de)0, где f - вектор правых частей системы (5.4), а индекс
нуль означает подстановку е = 0 и порождающего решения (5.7), равен
дГ дг /о
' - 2рйГ'12соз26 + 0(р2) '
2L (¦O') cos2 ¦б' - L' (б) sin 26+0 (р)
• 2L' (б) sin2 б + g2L (б) sin 26 + 0 (р)У
§ 2] О СИСТЕМАХ ТИПА ЛЯПУНОВА 93
Мы положим в формуле (2.6) Ф0 = 0; согласно (5.3) это означает, что в
начальный момент т = 0 имеем ц (0) = 0. Опуская очевидные вычисления по
формуле (2.6), выпишем нужные нам первые две компоненты вектора (4; р, М,
N) первой поправки:
Р1 (О; |x,M,N)=- ц/Г1'2 {b + 4-sin 2l&) + О (р2),
zj(#; р, М, N) = -у- sing# + /Vf sin 2ftcos g$-\-gM sin2 Ф singft-
-N sin 2ft singfy- gN sin2 йсоэ^й -f O(p)-
Остается проинтегрировать первое уравнение (1.5), это нам даст, опять-
таки при Ф0 = 0,
Ф = Ф (т) = т + е sin2 т + О (р) + ...,
где точками отмечены члены второго порядка относительно р и е.
Окончательно получим решение системы (5.1) для случая ц (0) = = 0 в виде
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed