Допуски и качество оптического изображения - Сокольский М.Н.
ISBN 5-217-00547-5
Скачать (прямая ссылка):
Функция рассеяния точки при наличии местных деформаций волнового фронта. Предположим, что, за исключением местных отклонений или деформаций, волновая аберрация отсутствует, а зрачок системы имеет форму круга с круглым центральным экраном (рис. 2.11). Такая модель, несмотря на ее простоту, вполне пригодна для рассмотрения изображения осевой точки в хорошо корригированных объективах, например астрономических, зеркаль-
Рис. 2.11. Расположение местной деформации волнового фронта на зрачке
102 ных и зеркально-линзовых объективах. На рис. 2.11 ?, у— нормированные канонические координаты на зрачке, определяемые по формуле (1.3). В координатах ?, у зрачок имеет форму единичного круга с круглым центральным экраном радиуса е.
Пусть в пределах зрачка имеется т ненакладывающихся друг на друга зон с местными деформациями волнового фронта. Для упрощения анализа будем считать, что каждая /-я зона также представляет собой круг относительного радиуса а7- с координатами центра ?j, yJt и отклонение волнового фронта от сферы сравнения в пределах каждой зоны симметрично относительно ее центра и имеет вид параболоида вращения:
{ W20j (Ui — 1) — в зоне;
Wj (?, у) = п J [0 —вне зоны,
где Uj = [(? — ?/)2 + (у — У/)2]/«/, a W2Oi — деформация волнового фронта в центре зоны, выраженная в длинах волн света.
Распределение освещенности D (г)', ?') = E (г)', ?') Е* (г)', E')-В соответствии с формулой (1.4) E (г)', р,') равно
E (Ti', Г) = j j F (?, у) ехр [2лі (?ri' + уГ)] d? dy,
где і]', — приведенные координаты в плоскости изображения, определяются соотношениями (1.3).
Функции зрачка для рассматриваемого случая представляют собой сумму нескольких функций:
т
F (?, у) = F0 (?, у) - Fa (?, у) + ? [Fj (?, у) - F3j (?, у)]. (2.34)
/=і
Здесь F0 (?, у) = сігс (р) — функция незатененного безаберрационного зрачка единичного радиуса; F3 (?, у) = сігс (р, є) — -функция центрального экрана; Fj (?, у) = сігс (Uj)W20j (Uj — — 1) — функция /-й зоны с деформацией волнового фронта; F3J (?. У) = сігс (uj) — функция экрана, помещенного на место j-й зоны, где р2 = ?2 + у2; сігс (р) — функция-круг, определяемая следующим образом:
circ (р2) = j 0
1 при р 1; при р > 1.
При подстановке (2.34) в (1.4) и в выражение для D (г)', ?') ¦функцию E Cn', I') удобно выразить в полярных координатах E (г, 0), где г ид связаны с ц' и соотношениями: ц' = = г cos 0; і' = г sin 0.
103 Пользуясь свойствами преобразования Фурье из (2.34) и (1.3), получим следующее выражение для комплексной амплитуды E (г, 0):
Е(г, в)-« + рриьр,
X
/=1
X COS(0 — tP/)!
- і
J р/ехр[2ш№20/(р2- 1)] X
X J0 (2ярjraj) dpj — 2Jl2^j)
(2.35)
где J0 и J1 — функции Бесселя 1-го ряда, 0-го и 1-го порядков; Pi и cPj — полярные координаты центра /-й зоны, ?j = ру cos ф^; yj = Pj Sin фу.
Нормируем E (г, 6) таким образом, чтобы в отсутствие каких-либо местных деформаций амплитуда в центре была равна единице. Подставляя в (2.35) W20J = 0, г = 0, получим
E (0, 0) = n (1 — є2).
(2.36)
Разделив затем (2.35) на (2.36), сделав в интеграле замену Uj= р/, получим окончательное выражение для нормированной амплитуды
E (г, 0)
1-е2 2я г
2J1 (2яг) 2 2J1 (2яге) , 6 2го-в +
2 2о? ехр [2я/гр} cos (0 — ф;.)] ехр [— 2niWw/]
X
/=1
X
і
f ехр [2JiiWwjUj] J0 (2л 1Гй} raj) du, —
- о
. (2.37)
Для практических вычислений комплексное выражение (2.37) и I D (г, 0) I2 необходимо привести к вещественному виду. Выполнив очевидное преобразование, получим
D (г, 0) = Ele (г, 9) + E2lm (г, 0),
(2.38)
104 где
F (г й\- 1 2A (2"') 2 2A (2пге) ,
tRe^, И) - -J-^r J —--е --h
т \
+2 Hc-/ IV/+V/--?50-] - su (?5/ - V/)] -
/=I >
т
д. е, _ j {hf,+V, - ii^ ] +
,-=і
+ [CijSj — S2j-Cj-] j;
C1j = cos [2ягр; cos (0 — фу-)]; S1J = sin [2ягр7- sin (0 — ср.,)]; c2j = cos (2я W720J-); s2j- = Sin (2л IF20j);
і
Cj = j COS (2я W20jUj) J0 (2яГ >/"Uj- CCj) du/,
о
1
Sj = J sin (2яW20jUj) J0 (2яг УUj a,j) duj.
(2.39)
Формулы (2.38), (2.39), легко программируются на ЭВМ. Интегралы Cj, Sj, содержащиеся в них, могут быть вычислены при помощи квадратурных формул. Удобнее всего пользоваться квадратурами Гаусса, которые требуют минимального числа узлов по сравнению с другими.
Анализ формул (2.38), (2.39) показывает, что в любом случае функция D (г, 0) распределения освещенности симметрична относительно координатных осей т/ и следовательно, достаточно вычислить ее значение в одном квадранте для значений азимута 0 от 0 до 90° (рис. 2.12).
Число Штреля при наличии в системе местных деформаций. Примем в качестве критерия качества изображения число Штреля, выраженное формулой (1.47). По определению числа Штреля для нашего случая имеем
S = I D (0,1 = I E (0) р.
Выражения (2.38), (2.39) для г = 0 преобразуются к следующему виду:
S =?2ке(0)+ ^m(O), (2.40)
105 Рис. 2.12. Распределение освещенности в изображении точки: а — при W2e = = 0,5Л; Pi = 0,75; Ci1 = 0,25; б — в зависимости от размера зоны деформации; /—0 = 0°, Ci1 = 0,50; 2 — 8 = 90°, Gi1 = 0,50; 3 — Є = 0°, Ci1 = 0,25; 4 — Є = 90% a, = 0,25
