Температура - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
распределения Вина. Спектр излучения убывает очень быстро с ростом
энергии, а потому при больших частотах никакой "катастрофы" не
происходит.
Дело выглядит так, что колебания электромагнитного поля, отвечающие
большим частотам, практически не получают энергии. Это есть следствие
гипотезы Планка о квантах. По представлениям классической теории, каждое
колебание должно иметь среднюю энергию kT.
125
Если kT hv, то такой энергии отвечают несколько квантов. Если же kT hv,
то даже одного кванта становится слишком много. Излучить же полкванта или
четверть кванта атомы-осцилляторы не могут: таких порций нет в природе. А
так как "большие" кванты - кванты с большой частотой -- не излучаются, то
их нет и в электромагнитном поле. Эти степени свободы "вымерзли".
"Вымерзают" же частоты, кванты которых слишком велики по сравнению с kT.
С уменьшением температуры "вымерзает" все больше и больше колебаний. При
абсолютном нуле исчезают все степени свободы - энергия и энтропия
излучения устремляются к нулю.
Явление "вымерзания" степени свободы обнаружил еще Нернст задолго до
появления квантовых представлений, размышляя о том, как должна вести себя
энтропия вблизи абсолютного нуля.
Если посмотреть на формулу Планка при низких частотах (hv kT), то в этой
области можно заменить экспоненту по формуле еа ^ 1 + а при а^1 и
получить формулу Рэлея- Джинса:
Это замечательная формула. Из нее исчезла постоянная Планка h. При низких
частотах, когда квант "маленький", формула дает классическое число
степеней
g- 8 л v2
свободы электромагнитного поля - их -g- на интервал
частоты Av. На каждую степень свободы приходится энергия kT.
В истории с квантом Планк проявил удивительную интуицию. Ведь на самом
деле не существует никакой логической цепочки, которая могла бы привести
его к открытию.
Планк сам не думал о настоящих квантах - квантах электромагнитного поля.
Для него кванты были порциями энергии, которые терял осциллятор. Только
через пять лет Эйнштейн заметил, что если квант имеет энергию, то из
теории относительности следует, что он должен иметь и импульс. Тогда
квант имеет право на самостоятельное существование, как частица с
энергией е и массой покоя, равной нулю.
Точные расчеты по формуле Планка дают для плотности энергии излучения в
единице объема (закон
126
Стефана
где
В эту формулу входят сразу три фундаментальные постоянные: k, h и с.
Постоянная Больцмана - из кинетической теории, постоянная Планка - из
квантовой механики, скорость света-из теории электромагнитного поля
Максвелла.
Закон Стефана - Больцмана обычно пишут не для плотности энергии в единице
объема, а для количества энергии, которое за секунду испускает с единицы
поверхности в пустоту тело, нагретое до температуры Т\
поток энергии = аГ4,
р
где а = 5,67-10~5-^-------------г. Постоянные аиа связаны
" см3•град4
соотношением о = у4 ас.
Если разделить плотность энергии Е0 на энергию одного колебания, т. е. на
kT, то получим величину, которую можно интерпретировать как число квантов
в единице объема. Оно оказывается равным примерно 147'3. Это значит, что
число квантов не остается постоянным, а растет с температурой. Этим газ
из фотонов отличается от идеального газа, газа из постоянного числа
атомов.
Открытие Планка обрело физическое содержание, когда Эйнштейн понял, что
электромагнитное поле состоит из квантов - фотонов и что осцилляторы
излучают и поглощают фотоны - частицы, движущиеся со скоростью света и не
имеющие массы покоя.
Появление фотонов в физике было настолько неожиданным и их существование
было настолько трудно признать, что только в 1924 г. фотоны стали
рассматривать как газ и применять к нему законы статистической физики.
ФОТОННЫЙ ГАЗ
В 1924 г. молодой индийский физик Бозе обнаружил, что распределение
Планка можно получить почти таким же образом, как и распределение
Максвелла, если считать электромагнитное поле системой из мно-
- Больцмана)
Е0 = аТ\
"2 UX
127
жества фотонов, т. е. считать его идеальным фотонным газом. При этом,
конечно, не надо забывать, что фотоны - это не обычные атомы, они не
имеют массы покоя. Бозе про это не забыл и обнаружил, что формула
распределения Планка есть не что иное, как равновесное распределение
такого фотонного газа, названного впоследствии бозе-газом.
Вывод Бозе очень понравился Эйнштейну; он перевел статью на немецкий язык
(с английского) и направил ее в физический журнал. После этого
электромагнитное поле (поле фотонов) стало примером нового идеального
газа, у которого уравнение состояния, конечно, не имеет ничего общего с
уравнением Клапейрона - Менделеева.
Вывод уравнения состояния фотонного газа более сложный, чем вывод
уравнения обычного идеального газа. Но в этом выводе стоит разобраться.
Пока у нас есть формула для плотности энергии излучения Е0. Если
плотность энергии умножить на объем, то получим внутреннюю энергию
излучения:
U = aT*V.
Для того чтобы увеличить энергию на AU, надо повысить температуру на
