Температура - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
притягиваемого тела независимо от того, с чем связана эта масса. Горячий
чайник немного тяжелее холодного; падая на черную дыру, горячий
чайник выделит несколько больше энергии (на j U,
где U - внутренняя энергия), чем холодный. Черная дыра работает как
идеальный холодильник при Т - О К, из которого никакими способами нельзя
извлечь какой-либо энергии. Это значит, что КПД цикла с черной дырой в
качестве холодильника, по Карно, будет равен единице. Возникает ситуация,
очень напоминающая Еечный двигатель второго рода, и уж во всяком случае
нарушается теорема Нернста. Такой парадокс должен был неминуемо навести
на мысль, что черная дыра не может иметь температуру Т - 0.
Решение парадокса надо было искать в термодинамических свойствах черной
дыры. Первая догадка состояла в следующем.
Если черная дыра имеет температуру, отличную от абсолютного нуля, то она
имеет и энтропию. Если черная дыра сферически симметрична, не вращается и
не заряжена, то энтропия может зависеть только от массы. Но энтропия -
величина безразмерная, она не зависит от единиц измерения; численное же
значение массы, конечно, зависит от того, в каких единицах мы ее измеряем
- в граммах или в миллионах тонн. Энтро-
*) Эта работа реализуется в виде мощного излучения электромагнитных и
гравитационных волн.
137
пия идеального газа определялась отношением объемов и отношением
температур. По-видимому, и энтропия черной дыры должна определяться
отношением ее массы к какой-то стандартной эталонной массе. Но какой? Как
все же должно выглядеть выражение для энтропии черной дыры?
Качественное решение задачи было придумано Бекен-штейном. Внимание его
привлекла одна теорема общей теории относительности. Теорема утверждала,
что, какие бы процессы ни происходили в системе, в которой есть черные
дыры, суммарная площадь поверхностей черных дыр может только
увеличиваться. Эта очень общая теорема похожа на теорему о возрастании
энтропии. Площадь, так же как энтропия, величина аддитивная и, так же как
и энтропия, зависит от массы черной дыры. Поэтому был соблазн
предположить, что энтропия черной дыры просто пропорциональна ее площади
/4:S^A. Но как сделать энтропию безразмерной, если площадь А имеет
размерность квадрата длины?
ЕДИНИЦЫ ПЛАНКА
В микромире нет своего масштаба длины. Из двух постоянных ft и с нельзя
составить величину с размерностью длины или времени. Для этого надо взять
еще массу. Тогда длину можно, например, соста-h
вить так: -.
тс
В общей теории относительности также нет масштаба длины, так как его
нельзя составить из у и с. Но если привлечь на помощь массу, то длину
можно ут
составить так: -.
Объединим теперь обе длины ~ и ^г> составив их
геометрическое среднее (• При этом масса сократится. Это и есть единица
длины, предложенная План-ком.
После того как Планк ввел две фундаментальные постоянные ft и ft, он
заметил, что появилась возможность построить новую систему единиц, не
связанную ни с какими искусственными эталонами. Это следующие
138
единицы:
длина Ip ~ 5,110 • 10 33 см,
время tp - (-f'j /2 = 1,7016 • 10'43 с, масса mP = = 6,189 • 1СИ г,
/ л5 1/2
частота соР = (^-щ > = 0,5863 ¦ 1043 с1,
энергия еР = (-^-V/2 = 0,5563 • 1018 эрг,
температура 7'P = 4-^^-j1/2 = 4,029-1031 К.
Единицы Планка удобны при расчете таких систем, где существенны эффекты
как квантовые, так и гравитационные.
Но единицы Планка не только удобны, они обладают принципиальной
особенностью. Их существование означает, что в природе, во Вселенной есть
естественные масштабы, связанные одновременно и с квантовыми и с
релятивистскими свойствами мира. Постоянная Планка определила связь между
энергией и частотой (масштаб кванта), скорость света - связь между массой
и энергией (масштаб энергии). Естественно было предположить, что и
единицы Планка определяют масштабы характеристик каких-то событий или
объектов. Черная дыра (и ее энтропия) кажется удачным кандидатом для
применения единиц Планка.
Предположим, что масштаб энтропии связан с постоянной длины 1Р, т. е. что
площадь поверхности черной дыры надо разделить на с каким-то
коэффициентом, о котором, конечно, нельзя догадаться заранее. На основе
таких, надо сознаться, не очень строгих рас-суждений и была выдвинута
гипотеза, что энтропия
ОС А
черной дыры должна иметь вид S = -г-, где коэффициент
'р
а надо вычислить из каких-то соображений особо. Такая догадка оказалась
правильной. Коэффициент а был вычислен позднее Хоукингом. Он оказался
равным х/4.
Зная энтропию, можно вычислить и температуру. Заменим площадь А ее
выражением через гравитацион-
139
ный радиус:
А = 4лЕ'гР =
16луМ2
Используя единицы Планка, можно теперь написать формулу для энтропии:
" / М ' 2
S = 16Л0С I----! .
\тр/
Температура запишется в виде
1 mD
Т ________ . и -г
32ла М р'
Исключая из этих формул массу, будем иметь
ST'=ik¦
Такое уравнение состояния ни на что не похоже. Из него следует, что чем
выше температура, тем меньше энтропия, а при абсолютном нуле энтропия
