Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
функция лишь расстояния до его центра, является таким же, как и
притяжение частицы, которая помещена в центр шара и имеет ту же массу,
что и шар. Чтобы найти силу притяжения шара (рис. 3) на внешнюю точку Р
единичной массы, нам потребуется выражение потенциала в точке Р,
создаваемого бесчисленным множеством частиц, из которых состоит шар.
Рассмотрим сначала бесконечно тонкий однородный сферический слой с
центром в точке О, радиус которого равен а. Обозначим через о массу,
приходящуюся на единицу площади, и возьмем кольцо, ограниченное углами 0
и Ь-\-йЬ. Плоскости малых кругов, ограничивающих это кольцо,
перпендикулярны ОР. Масса кольца равна
16
Глава /. Введение
2«a2aslnQ <20. Так как каждый элемент кольца находится на одном и том же
расстоянии х от Р, то потенциал кольца в точке Р будет равен
2nGa*a sin в db
Следовательно, потенциал Vl однородного сферического слоя в точке Я будет
выражаться формулой
sin 6 <20
Vl = 2icGa2o J ?
о
Так как
x2 — a2+ г2 — 2ar cos 0,
то
xdx — ar sin Odd.
Поэтому
*1
Vj = 2itQa — J dx= 2itGa у (jf2 — jfj),
где jpj и x2 соответствуют 0 = 0 и 0 = it. Но = г — а, а х2 = г + в.
Следовательно,
4itGaa2 1-----~т
или так как масса слоя равна — 4ica2a, то
Vi GMt
Таким образом, потенциал слоя в точке Р равен потенциалу частицы с массой
М{, расположенной в центре слоя.
Так как шар может быть разделен на очень большое количество однородных
тонких концентрических слоев, то потенциал шара в точке Р будет таким же,
как и потенциал частицы, масса которой равна сумме масс всех слоев, т. е.
равна массе шара, и которая рас* положена в его центре. Следовательно, мы
имеем следующую формулу для потенциала V шара на внешнюю точку:
v=°p-.
Таким образом, при аналитических исследованиях мы можем, например,
заменить Солнце материальной точкой, расположенной в его центре. В
частности, притяжение Солнца (масса т{) на планету (масса т2) будет тем
же, что и притяжение материальной точки mv расположенной в центре Солнца,
на материальную точку щ, находящуюся в центре планеты. Сила этого
притяжения равна От^^г2, где г
§ 1.06. Уравнения движения
17
— расстояние между их центрами. Поэтому в динамических задачах мы можем
рассматривать Солнце и планеты как материальные точки, координаты которых
совпадают с координатами центров рассматриваемых тел.
§ 1.06. Уравнения движения
Ради простоты мы ограничимся сначала рассмотрением только трех тел,
именно Р0, Р, Pv и предположим, что они являются точками с массами /и0,
т, тг Для того чтобы воспользоваться вторым
законом Ньютона, мы примем в качестве основной гипотезы возможность
выбора в евклидовом пространстве инерциальной системы осей О;, От), ОС, в
которой этот закон является справедливым. Для краткости мы будем называть
такую систему осей системой Ньютона. На рис. 4 координаты точек Р0, Р, Р1
относительно осей 0\, Ог[, ОС суть соответственно (;0, т)0, С0). (?, у],
С) и т],. С,).
Рассмотрим прежде всего движение точки Р. Согласно равенству (1) § 1.04,
потенциал тяготения масс т0 и mt в точке Р дается формулой
где г и Д суть соответственно расстояния точки Р от Р0 и Pv Параллельная
О; составляющая силы притяжения точками Р0 и Р, единичной массы,
находящейся в точке Р, вследствие формулы (2) § 1.04, равна dV/d$.
Следовательно, составляющая этой силы, действующая на массу т, помещенную
в точке Р, будет равна m(dV/d%). Скорость изменения проекции количества
движения точки Р на направление ОI будет d (m\)/dt. Поэтому на основании
второго закона движения будем иметь
Л
Рис. 4.
2 У. Смарт
18
Глава 1. Введение
или
«= Ж = 0/м« Ж (7) + 0/и* 4 (т) • <*>
Так как
'2 = (; - 'о)2+(7! — ’lo)2 + (С - Со)2. Д2 = (5 - ?,)2+(-П - ^)2+(С-С,)2.
то
а /1 у 6-So а /1\ 6-6,
as Iг)— гз ’ as Iд/~ д3 •
Следовательно, из уравнения (1) имеем
S = — Om0i=^ — (2)
Рассмотрим теперь движение точки Р0. Потенциал V0 тяготения масс т и /я,
в точке Р0 дается формулой
,, От , Gmt
vo — ~ I —•
Поэтому, как и раньте, будем иметь
^-4ь1=0жШ+0“-?Ш- (3>
Дялр.р,
ri= ^i)2 “Ь (л ^i)2 “Ь (Со *ч)2*
а / 1 \ s,-s,
*0 \ ' J
Кроме того,
_а_Ш S°~S
as01 г) г*
Поэтому уравнение (3) примет вид
|* = _Q».k=i_.Q» J»=!l. (4)
г П
Уравнения для tj и С аналогичны уравнениям (2) и (4).
Нужно заметить, что эти уравнения выведены относительно гипо-
тетических осей. Дальнейшее исследование станет возможным только тогда,
когда мы скомбинируем эти уравнения таким образом, что исключим
первоначальные координатные оси. В теории планет это достигается тем, что
движение планет Р и Р1 относится к осям Р0Х, PqY, PqZ с началом в точке
Р0, под которой понимается Солнце. Аналогично в теории Луны в
качестве начала координат берется
Земля, Эти оси показаны на рис. 4. Иногда выбранные таким образом
§ 1.07. Основные уравнения движения планет
19
оси относятся к плоскости эклиптики, иногда — к плоскости, которая
является наиболее удобной в данной задаче. Например, в теории спутников —
к плоскости орбиты планеты.
