Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Смарт У.М. -> "Небесная механика" -> 11

Небесная механика - Смарт У.М.

Смарт У.М. Небесная механика — М.: Мир, 1965. — 504 c.
Скачать (прямая ссылка): nebesnayamehanika1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 140 >> Следующая

Умножим равенства (3) — (5) соответственно на х, у и z и сложим. Мы тогда
получим
Ax-\-By-\-Cz = 0. (6)
§ 2.02. Положение плоскости орбиты

Последнее равенство показывает, что координаты точки Я удовлетворяют
уравнению плоскости, проходящей через Я0. Другими словами, орбита точки Р
лежит в некоторой плоскости, проходящей через точку Р0.
§ 2.02. Положение плоскости орбиты относительно основной плоскости
На рис. 5 изображена небесная сфера с центром в точке Р0. Оси Я0х, Яду,
Я0г пересекают небесную сферу в точках X, Y, Z.
Мы будем рассматривать плоскость большого круга XY как основную
плоскость, а точку X — как основную точку на этом большом круге.
Предположим, что плоскость орбиты, уравнение которой дается формулой (6)
§ 2.01, пересекает небесную сферу по большому кругу NAM. Полюс этого
большого круга (в том полушарии, где находится 2) совпадает с точкой С.
Направляющие косинусы радиуса Р0С пропорциональны постоянным
интегрирования А, В и С, введенным в § 2.01.
Пусть радиус-вектор ЯцЯ пересекает сферу в точке Q. Мы предположим, что
движение тела Я относительно Я0 происходит в направлении от JV к Q и что
в момент времени ? радиус-вектор пересекает сферу в точке А, удаленной от
N на угловое расстояние <о.
Положение плоскости орбиты относительно основной плоскости определяется
а) угловым расстоянием точки N от X, обозначаемым через 2, б)
наклонностью плоскости орбиты к основной плоскости, которая обозначается
через I и измеряется двугранным углом ANY или угловым расстоянием CZ.
24
Глава 2. Эллиптическое движение
В теории планет, например, за основную плоскость часто принимается
плоскость эклиптики, точка X отождествляется с точкой весеннего
равноденствия Т- а в качестве точки Z принимается северный полюс
эклиптики. Так как радиус-вектор планеты переходит из южного полушария в
северное через N в направлении NAQ, то точка N называется восходящим
узлом (обычно просто узлом), а дуга XN (или XN) — долготой узла.
Мы можем выразить постоянные А, В и С интегралов (3), (4) и (5)
§ 2.01 через 2 и Mi наоборот. Выражение ху — ху представляет собой
удвоенную скорость, которая характеризует изменение площади, описываемой
проекцией радиус-вектора г на плоскость XY. Если А— удвоенная
секториальная скорость планеты (А = г20, где 0 — полярный угол), то
ху — xy — h cos CZ,
где CZ — угол между нормалями к плоскости орбиты и плоскости ХУ, т. е. CZ
= l. Следовательно, из формулы (5) § 2.01 имеем
С = A cos /.
Аналогично
A = hcosCX, B = hcosCY.
Из сферических треугольников CXN и CYN находим, что cos СХ = sin Q sin I,
cos CY = — cos 2 sin I,
откуда
.A = Asin2sin/, B = — A cos 2 sin/, C = Acos/. (1)
Поэтому
А 2 = Л2+В2 + С2.
Таким образом, A — величина постоянная, и второй закон Кеплера тем самым
подтвержден.
Из формулы (1) находим
—4-
§ 2.03. Уравнения движения в плоскости орбиты
Возьмем прямоугольную систему координат с осями P0N, Р0М, лежащими в
плоскости орбиты так, чтобы PqN имела направление на узел. Пусть
координаты точки Р на рис. 6 будут xt, yv Пусть, кроме того, 0 означает
полярный угол между Р0N и PjP. Тогда,
§ 2.03. Уравнения движения в плоскости орбиты
25
принимая временно плоскость орбиты за основную, запишем уравнения
движения точки Р в виде
Последние уравнения являются ньютоновскими уравнениями движения частицы с
массой т, подверженной силе притяжения mp/r2 в напра-
влении РР0. Обозначив составляющие ускорения вдоль PJ3 и перпендикулярно
Р0Р через аир, получим
где А— произвольная постоянная.
Уравнение (2) — аналитическое выражение второго закона Кеплера, причем А—
удвоенная секториальная скорость, равная
2лаЬ Т '
Так как в § 1.02 мы определили среднее угловое движение п при помощи
формулы
или
тхх
ту х 1
7
ту»!
ту у, 72 7
Р
М
В
N
Рис. 6.
точки Р в полярных координатах имеют вид
О)
(2)
гЧ = А,
(3)
то
А = па2 Y1 — 71.
(4)
26
Глава 2. Эллиптическое движение
§ 2.04. Уравнение орбиты в полярных координатах
Чтобы получить уравнение орбиты в полярных координатах, мы исключим t из
уравнений
;-г62 = -?. (1)
г20 = А. (2)
г=жШи-А-
Положим и = 1/г. Тогда из формулы (2) найдем, что 0 = Ли2. Следовательно,
du
Ж
Уравнение (1) тогда примет вид
d1u . (л
Общее решение этого уравнения дается формулой и = [1 + е cos
(0 — <о)],
в которой е и ш суть постоянные интегрирования. Следовательно,
1 -f- е cos (0 — ш)
(4)
Последнее уравнение является уравнением эллипса с эксцентриситетом е,
если 0 <е< 1, и фокальным параметром, равным А2/р. Следовательно,
Л2 = pa (1 — е2). (5)
Однако, согласно формуле (4) § 2.03,
Л = па2 Y1 — е2' (6)
Из формул (5) и (6) находим
[л = п2а3, (7)
или так как п = 2к/Т и р. = О (/я0 + /я), то
а3 _ G(m0 + m) /0ч
ft — 4па * W
что является уточненной формой третьего закона Кеплера.
§ 2.05. Уточненная форма третьего закона Кеплера
27
Заметим, что равенство (4) представляет собой общее уравнение конического
сечения. Следовательно, орбита тела Р относительно Рй в соответствии с
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 140 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed