Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
планет является изучение движения отдельной планеты относительно Солнца
под действием главной силы — силы притяжения Солнца, и менее значительных
сил притяжения всех других планет и тел солнечной системы. В теории
спутников, и в частности в теории Луны, наша цель заключается в
исследовании движения Луны относительно Земли под действием главной силы
— силы притяжения Земли, и менее значительных сил притяжения Солнца,
планет и других тел солнечной системы. В этой главе мы будем почти
исключительно интересоваться основами теории планет. Однако общие
принципы, которые здесь будут рассматриваться, в равной степени применимы
и в теории спутников.
§ 1.02. Законы Кеплера
Большие планеты, в порядке увеличения их расстояний от Солнца, следующие:
Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран (1781), Нептун (1846)
и Плутон (1930), причем в скобках указан год открытия трех последних.
Кроме того, имеется огромное число более мелких тел — малых планет,
движущихся в области между орбитами Марса и Юпитера. До сих пор их было
открыто около двух тысяч, но, возможно, что общее число их в этой области
достигает и двадцати тысяч.
В первых десятилетиях семнадцатого столетия Кеплер сформулировал три
своих знаменитых закона движения планет. Эти законы
10
Глава 1. Введение
были выведены из наблюдений, наиболее точные из которых получил учитель
Кеплера Тихо Браге.
1) Первый закон. Первый закон утверждает, что орбита планеты
относительно Солнца есть эллипс, в фокусе которого находится Солнце.
Аналитически, если 5 — положение Солнца в фокусе (рис. 1) и Р — положение
планеты на ее орбите в данный момент, то уравнение эллипса в полярных
координатах имеет вид
г— а ^ g2) /п
1 -f е cos (в — ш) * w
где г — радиус-вектор SP, 0 — полярный угол, измеряемый
в направлении движения планеты от надлежащим образом выбранного основного
направления SN в плоскости эллипса до SP, ш — угол между SN и SA, где А —
наименее удаленная от 5 точка эллипса, а — большая полуось и е —
эксцентриситет эллипса. На рис. 1 С — центр эллипса. С А = СВ = a, CS =
ae.
Как видно из уравнения (1), минимальное значение г равно
а (1 — е), что соответствует точке А, для которой полярный угол равен ш;
точка А называется перигелием. Максимальное значение г равно а (1 + е),
что соответствует точке В, называемой афелием.
2) Второй закон. Второй закон утверждает, что для всех частей орбиты
секториальная скорость планеты есть величина постоянная. Таким образом,
если на рис. 1 Р(г, 6) есть положение планеты в момент t и Q(r-\-dr, 0 +
d0)— положение планеты в момент t~\-dt, то секториальная скорость равна
dA/dt, где dA представляет собой заштрихованную площадь SPQ. Так как
dA/dt = 1/2г*в, а секториальная скорость постоянна, то мы можем написать
гЧ = А, (2)
где h есть постоянная, равная удвоенной секториальной скорости.
§ 1.02. Законы Кеплера
11
Обозначим через Т время, требуемое для того, чтобы планета совершила
полный оборот. Это время называется периодом обращения. Так как
площадь эллипса равна nab, где ^ = а 1—е2—
малая полуось эллипса, то постоянная h, согласно второму закону, будет
равна 2-каЬ/Т, так что
Л = а* — е2. (3)
За время Т радиус-вектор опишет угол, равный 2it. Среднее
угловое движение, обозначаемое через п, определяется формулой
Следовательно, уравнение (3) можно записать в виде
Л = па2 У1 — е2. (5)
3) Третий закон. Первые два закона относились к орбите отдельной
планеты. Третий закон устанавливает зависимость между
большими полуосями и периодами обращения двух или большего числа планет.
Эта зависимость записывается следующим образом:
а? а\
= = ••• = const, (6)
М У2 У3
или, согласно формуле (4), в виде
п\а\ = п\а\= ... = const, (7)
где индексы 1, 2, ... соответственно относятся к планетам Pv Р2
и т. д.
Как мы покажем в § 2.05, третий закон не является вполне точным. Однако
точность наблюдений, имевшихся в распоряжении Кеплера, едва ли позволяла
обнаружить неравенства порядка минуты.
Третий закон Кеплера в его исправленном виде легко получается из
следующей формулы, которая будет выведена в § 2.04:
=О(т0-+-т) (8)
или
я2а3 = р, (9)
где т0, т — соответственно массы Солнца и планеты, О — постоянная
тяготения и
р = 0(/я0-|- т). (10)
12
Глава 1. Введение
Так как массы планет малы по сравнению с массой Солнца, то, пренебрегая
величиной т/т0, мы приведем формулы (8) и (9) к виду
откуда третий закон Кеплера в форме (6) и (7) следует немедленно.
Нужно заметить, что эти три закона представляют собой три различных
утверждения, которые не имеют явной связи друг с другом. Ньютон нашел
общий и простой принцип — закон всемирного тяготения, из которого каждый
из трех законов (третий — в исправленной форме) может быть легко выведен.
§ 1.03. Закон всемирного тяготения
Небесная механика основывается на законе всемирного тяготения и трех
законах движения Ньютона. Закон всемирного тяготения утверждает, что
частица Р, с массой т1 притягивает частицу Р2 с массой т2 с силой F,
