Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
и = Ко<Г'/т™, (42.4)
т. е. в отсутствие внешних регулярных сил дрейфовое движение экспоненциально затухает во времени таким образом, что за время тин скорость и убывает в е раз.
Воспользовавшись соотношением J = пей и введя обозначение
пеЧ'т (42.5)
т
преобразуем уравнение (42.3) к виду
= <42-6)
Если регулярная сила F и коэффициент Я постоянны, то из (42,6) получаем
при г>тв,
j = K^. (42.7)
° е
ВЫВОД ЗАКОНОВ ОМА И ДЖОУЛЯ — ЛЕНЦА
181
Все полученные соотношения верны независимо от природы регулярной силы F, возбуждающей электрический ток. Если ток возбуждается электрическим полем Е, то F = еЕ. Тогда соотношение (42.6) переходит в
j+rau-% = KE, (42.8)
а при Е — const в
J= ЬЕ. (42.9)
Это — закон Ома при условии, что концентрация свободных электронов п и инерционное время тин постоянны, т. е. не зависят от напряженности электрического поля Е, причем электропроводность К определяется выражением (42.5). Закон Ома (42.9) верен и для переменных полей, как это непосредственно следует из формулы (42.8). Требуется только, чтобы за время тпн ток менялся пренебрежимо мало, т. е. выполнялось условие
dj
Гин dt
<\J |. (42.10)
3. Инерционное время электрона в металле можно выразить через среднее время свободного пробега электрона между двумя последовательными столкновениями его с ионами решетки. Так как масса электрона пренебрежимо мала по сравнению с массой иона, то можно принять, что при каждом столкновении с ионом электрон полностью утрачивает свое упорядоченное движение. От беспорядочного движения можно отвлечься, так как оно на величину тока не влияет. Иначе говоря, можно принять, что при каждом столкновении скорость электрона обращается в нуль. Проведем сначала упрощенный расчет в предположении, что время свободного пробега между двумя последовательными столкновениями т одно и то же для всех электронов и для всех столкновений. Будем предполагать, что электрон движется в постоянном электрическом поле Е. Претерпев столкновение, электрон начинает двигаться с постоянным ускорением а — еЕ/m. К следующему столкновению он приходит со скоростью v = ах, так что его средняя скорость между двумя последовательными столкновениями будет и = ат/2,
а плотность тока/= пей —-—-Е. Следовательно,
* = ТЙГ- (42.11)
В этих упрощающих предположениях тин = т/2.
Приведенный расчет не вполне точен, даже если сохранить идеализацию, что при каждом столкновении электрон полностью утрачивает упорядоченную скорость. Расчет не принимает во внимание, что время свободного пробега т меняется от столкновения к столкновению. Для учета этого обстоятельства рассмотрим какой-
182
электрический ток
[ГЛ. II
либо один электрон, претерпевший много столкновений. Обозначим через ть т2, ..., Т;У времена свободного пробега электрона между последовательными столкновениями, а через иъ и2, ..., Un — средние упорядоченные скорости на этих временах. Тогда средняя упорядоченная скорость за все время движения представится выражением
Разделив числитель и знаменатель на N и перейдя к пределу N->oo, запишем это выражение в виде и = ат2/(2т), где тих*- средние значения времени свободного пробега электрона и его квадрата:
Те же средние значения т и т2 будут характеризовать не только какой-либо определенный электрон, но и всю совокупность электронов. Таким образом, для электропроводности А теперь следует написать
а потому тин = т2/(2т). В частном случае, когда все времена тх, т2,... одинаковы, получится прежний результат (42.11).
Выразим теперь отношение т2/т через среднее время свободного пробега электрона т. Возьмем пучок электронов, состоящий из п0 частиц, находящихся в момент времени / = 0 в одинаковых условиях. При дальнейшем движении эти частицы будут сталкиваться с ионами решетки и выбывать из пучка. Пусть п (Ї) — число частиц, оставшихся в пучке ко времени t. Среднее число частиц *—dn, выбывших из пучка вследствие столкновений между t и t + dt, пропорционально п и может быть представлено выражением <*-dn = = an dt, где а ¦= положительная постоянная. Отсюда п = nae~ai. Каждая из этих (—dn) частиц двигалась без столкновений в течение времени t. Поэтому
Интегрируя по частям, преобразуем второй интеграл:
СО
со
т2 = [ t2 de~at — — 2 Ї terat dt —------------------- [ tdn = 2T.
Таким образом, т2/(2т) = т, и, следовательно, тии = т,
(42.12)
ВЫВОД ЗАКОНОВ ОМА И ДЖОУЛЯ - ЛЕНЦА
183
Тем не менее мы будем пользоваться иногда и упрощенной формулой (42.11). Дело в том, что в кинетической теории газов при изучении явлений переноса мы вводили те же упрощения, что и при выводе формулы (42.11), т. е. предполагали, что длины и времена свободного пробега одинаковы для всех молекул и всех столкновений. Было бы непоследовательно при сопоставлении кинетической теории газов с теорией электропроводности вводить различные упрощающие предположения и производить вычисления с различной точностью.
Отметим еще физический смысл постоянной а. Для этого выразим ее через время т:
СО
т —-----— ^ I dn= [ lde~at = —,
«о J J «
о
Таким образом,
п — пф~^х. (42.13)
Эта формула вполне аналогична формуле (88.3) из второго тома нашего курса.
