Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
женность поля Ец на поверхности пластины АВ (т. е. при х =—d/2) будет Еу=—V!{2h)—
— ad/2, откуда а = —VJ(hd). Окончательно
Ex = Vy/(hd), Ey = Vx!{hd).
Уравнение силовой линии dx!Ex = dyJEy. имеет вид
dx _ dy у X *
откуда у2 — хг= К, т. е. силовыми линиями являются равносторонние гиперболы. При К > 0 оси гипербол совпадают с осью Y, при К С 0 — с осью X. Для выяснения смысла постоянной К обозначим через а расстояние от вершины гиперболы до начала координат. При К > 0 координатами вершины гиперболы
будут (0, а). Они должны удовлетворять уравнению а3 — О2 = К, откуда К — а2. Аналогично, для второго случая (К, <С 0) К = —а2. Таким образом, получаются два семейства гипербол: у1 — х2 = а2 и хг — —г/3 = а2, асимптотами которых являются биссектрисы соответствующих координатных углов (рис. 110). Гиперболические силовые линии первого семейства легко воспроизводятся экспериментально обычным методом, описанным в § 3. Силовые линии второго семейства экспериментально получить
р трудно из-за малости составляющей по-
^ ля Ех.
2. Пространство между пластинами слоистого плоского конденсатора заполнено многослойным диэлектриком, обладающим слабой электропроводностью. Диэлектрическая проницаемость и электропроводность изменяются от Єї = 4, Хг = 10~" Om~1-cm~j’ на одной поверхности диэлектрика до є2 = 3, Х2= 10~12 Om'J-cm'1 на другой его поверхности. Конденсатор
включен в цепь батареи постоянной электродвижущей силы. Определить величину и знак суммарного свободного заряда q, который возникает в диэлектрике,
ВЫВОД ЗАКОНОВ ОМА И ДЖОУЛЯ - ЛЕНЦА
179
когда в цепи установится постоянный электрический ток $ = 10_2 А, текущий через диэлектрик в направлении от стороны 1 к стороне 2.
Ответ. ? = 78 СГСЭ-ед. = 2,6 • КЛ* Кл.
4Л \ Л2 Ai J
3. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено двумя однородными слабо проводящими слоями диэлектрика с толщинами и Л2. Диэлектрическая проницаемость и электропроводность первого диэлектрика равны соответственно иЯ1; второго є2 иЯ2. Найти плотность поверхностных свободных зарядов ст на границе между диэлектриками, которая установится при наложении на конденсатор постоянного напряжения V.
~ V f ¦>/. і — ^i/w-
Ответ, сг = -т— , „ , , Vі-.
4л -J- h^Ki
§ 42. Вывод законов Ома и Джоуля — Ленца
1.- Будем предполагать в этом параграфе, что электрическое поле Е может меняться во времени. Рассмотрим сначала металлы, хотя наши рассуждения в основном справедливы и в случае других проводящих сред (электролитов, ионизованных газов и пр.). В металлах носителями тока служат «свободные электроны», т. е. электроны, сравнительно слабо связанные с ионами кристаллической решетки, внутри которой они могут свободно перемещаться. Прямое доказательство этого утверждения дают классические опыты Толмена и Стюарта (см. § 97). В отсутствие электрического поля или других регулярных сил, действующих на электроны, все направления движения последних равновероятны. В этом отношении движение электронов в металле напоминает тепловое движение молекул газа. Назовем такое движение беспорядочным, а соответствующую ему скорость электронов будем обозначать через v6. Для последующих рассуждений не имеет значения, является ли беспорядочное движение электронов тепловым или нетепловым (см. т. II, §4, пункт 3).
2. При наличии регулярной силы на беспорядочное движение электронов накладывается систематическое — дрейфовое — движение. Если поле регулярных сил однородно, то все свободные электроны движутся с одной и той же дрейфовой скоростью, обозначаемой ниже через ©д или и. Полная скорость электрона v складывается из беспорядочной ©б и дрейфовой и: v = ©б + а. Движение электрона в классической механике описывается уравнением
m*j.-m_d_(V(. + u) = F+F„t (42.1)
где F — регулярная сила, действующая на электрон со стороны внешнего силового поля, a F„ *— сила, которую он испытывает при столкновениях с ионами или другими электронами. Если уравнение (42.1) усреднить по всем электронам, то производная dvjdt, обратится в нуль, а сила Fcr заменится ее средним значением (Fcт>. Заметим, что при таком усреднении столкновения между электро-
130
электрический ток
ІГЛ. II
нами можно не принимать во внимание, так как они (столкновения) не влияют на количество движения 2 mv == ? т (об + и) всей системы электронов, которое только и входит в вычисление среднего значения скорости ©. Таким образом, под следует понимать силы, действующие на электроны при их столкновениях только с ионами кристаллической решетки. При отсутствии дрейфового движения средняя сила обращается в нуль. При наличии дрейфового движения этого не будет. При малых дрейфовых скоростях величину F„ можно разложить по степеням и и ограничиться при этом линейным членом:
Fa = -m^~, (42.2)
где тин — постоянная, имеющая размерность времени. В этом приближении уравнение для дрейфового движения электрона принимает вид
m~-\-m — = F. (42.3)
dt ти„ ' '
Сила F„, а с ней и время тии обусловлены инерцией электронов. Поэтому величину тин можно назвать инерционным временем электрона в металле. Конкретное представление о времени тин дает следующий пример. Предположим, что F = 0 и что в начальный момент времени / = 0 электроны совершают дрейфовое движение со скоростью и = а0. Тогда из уравнения (42.3) получаем
