Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
dq dVr d-q L dV „ ;
¦ VR = *-dt-C*HT' V‘-L^-R-ir-
На этих соотношениях основано применение электрических схем для автоматического дифференцирования и интегрирования. Соответствующие устройства называются дифференцирующими и интегрирующими ячейками. Допустил, на-лример, что конденсатора в цепи нет. Тогда (122.5) запишется в виде
VL + VR=VBX, .
L dVR :П
причем Vj т' е- напряжение на самоиндукции с точностью до числового
множителя равно производной от напряжения на сопротивлении R. Если параметры L и R подобрать так, чтобы было выполнено условие | VL | | !,
»Z, dV
то Vjj ss VBX и, следовательно, =-^-—. Подадим.на осциллограф напряжение с катушки самоиндукции. Тогда получится осциллограмма, представляющая производную входного напряжения. Аналогичная RL-ячейка может быть
R С
использована и для интегрирования. Действительно, \ V Подберем
§ с
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
549
параметры R и L так, чтобы было | ]< | VL |. Тогда приближенно V, = V
R С 1
и, следовательно, — І І-'вх^.Подаваянаосциллографнапряжсішессонро-
тивления R, мы получим осциллограмму, представляю»
'щую интеграл от входного напряжения. Аналогично денстсуют дифференцирующие и интегрирующие RC-
ячеііки.
ЗАДАЧА
¦У
а
j
с7
Рис. 294.
Колебательный контур содержит конденсатор с утечкой. Эго значит, что небольшая часть тока, поступающего на одну из обкладок конденсатора, проходит через диэлектрик иа другую обкладку. Емкость конденсатора равна С, его сопротивление R. Пренебрегая сопротивлением катушки самоиндукции и прочих проводов и предполагая, что выполнено условие квазистационарностп,
вывести уравнение собственных колебаний колебательного контура. Найти собственную частоту со0 и коэффициент затухания у.
Решение. При выполнении условия кр.аяистационарностп (рис. 291)
L4f+V=0' Q==cl/>
Q = V = R&‘.
Исключая Q, q7 и q7', отсюда находим
V + 2vl?+to^=0,
где
1
Y
1
LC ’
І
2RC'
§ 123. Свободные колебания гармонического осциллятора
I. Если нет омического сопротивления, то свободные колебания в колебательном контуре описываются уравнением
9 + (oj9 = 0. (123.1)
Уравнением такого же типа описываются свободные незатухающие колебания груза на пружине. Всякая система — механическая, электрическая или какая-либо другая, свободные колебания которой подчиняются уравнению типал(123.1), называется гармоническим осциллятором. При наличии силы сопротивления 2у<у система называется гармоническим осциллятором с затуханием.
Для решения уравнения (123.1) умножим обе части его па q. Тогда после небольших преобразований получим
^ + со^) = 0.
550
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
|ГЛ. X
Отсюда следует, что величина q2 -f- со;#2 не меняется во времени. Так как эта величина есть сумма двух квадратов, то она существенно положительна и может быть представлена в виде
q2 + u>lq2 = alql
где q0 — постоянная. Это равенство выражает сохранение энергии, так как его можно записать в виде
Le72 -f = const.
Чтобы выполнить второе интегрирование, разделим переменные:
dq
Отсюда
(о0 dt.
arccos - - = db (о0/ -f const, Qo
или
<? = <7oCos((Do/ + 6). (123.2)
Постоянные интегрирования q0 и б определяются начальными условиями. В качестве таковых можно, например, взять значения заряда q и тока 3 = q в момент времени t = 0.
2. Формулой вида (123.2) описываются также свободные колебания груза, подвешенного на пружине, физического или математического маятника при малых отклонениях, ножки звучащего камертона, а также колебания напряжения в цепи городского тока. Если какая-либо величина меняется во времени по закону (123.2), то говорят, что она совершает гармоническое колебание. С гармоническими колебаниями механических систем мы подробно ознакомились уже в первом томе, где нас больше всего интересовали периоды свободных колебаний таких систем. Величина щ называется круговой или циклической частотой гармонического колебания. Она совпадает с собственной круговой частотой колебательной системы, определяемой формулой (122.7). Промежуток времени
То = 2я/(о0, (123.3)
через который значення колеблющейся величины периодически повторяются, называется периодом колебания. Число колебаний в единицу времени
v0 “ 1 /Т о — со0/2 лх (123.4)
называется частотой колебаний. За единицу частоты принимают герц. Герц есть такая частота, когда в одну секунду совершается одно колебание. В дальнейшем прилагательное «круговая» будет часто опускаться. О какой частоте идет речь, будет видно нз обозна-
§ 1231
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
551
чений. Круговая частота всегда обозначается со или Q, просто частота — v. Величина q0 называется амплитудой, а величина (о0t + б — фазой колебания. Величину б называют начальной фазой. Собственные частоты со„ и v0, а также период собственных колебаний Т0 зависят только от устройства колебательной системы. Напротив, амплитуда q0 и начальная фаза б определяются не самой колебательной системой, а начальными условиями.
Для электрических колебаний собственная частота определяется формулой (122.7). Поэтому
Г0 = 2яуТС. (123.5)
Эта формула называется формулой Вильяма Томсона.
