Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
(122.3)
(122.4)
Это и есть уравнение колебательного контура. Если катушка самоиндукции не деформируется (L = const), оно переходит в
L
d2q \ і q ________________________s?
2 ' d t + с •
dt-
(122.5)
Механическим аналогом (122.5) может служить уравнение движения груза на пружине (рис. 292). Если справедлив закон Гука, а при движении груза возникает тормозящая сила —ах, пропорциональная скорости х, то уравнение движения имеет вид
Ж
тш
сРх ,
m-jT»—-— kx ¦ dt*
¦ ax + F,
или
d-x , ...
m d(, + ax + kx =
F,
(122.6)
-------T
CG
X_________
Рис. 292.
где x — отклонение груза из положения равновесия, считаемое положительным, если оно направлено вниз. Величина —kx есть восстанавливающая сила, равная сумме веса тела и силы натяжения пружины, F — результирующая всех прочих сил, действующих на груз. Это уравнение отличается от (122.5) только обозначениями и физическим смыслом входящих в него величин. Математически оба .уравнения тождественны. В уравнении (122.5) роль отклонения х играет заряд конденсатора q\ массы т — самоиндукция L; коэффициента сопротивления а — электрическое сопротивление R; коэффициента упругости пружины k — величина, обратная емкости, 1/С; внешней силы F — внешняя электродвижущая сила Ш. Одинаковые уравнения должны иметь и одинаковые решения. Заметив это, допустим, что в уравнении (122.6) F — 0, а коэффициент сопротивления а мал. Тогда, как хорошо известно из повседневного опыта, при отклонении груза из положения равновесия или сообщении ему толчка в вертикальном направлении возникнут колебания, слабо затухающие во времени. При а = 0 затухания совсем не будет. Из математической тождественности уравнений (122.5) и (122.6) следует, что возникнут электрические колебания, если заряженный конденсатор замкнуть через катушку самоиндукции.
§ 122]
УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА
547
При этом заряд конденсатора q будет меняться во времени по тому же закону, что и отклонение груза из положения равновесия. Если нет омического сопротивления, то электрические колебания в колебательном контуре будут незатухающими. При наличии сопротивления R колебания затухают.
3. И без обращения к уравнениям и механической аналогии нетрудно понять, почему в колебательном контуре возникают и поддерживаются электрические колебания. Для простоты будем считать, что электрическое сопротивление колебательного контура равно нулю. Пусть в начальный момент верхняя пластинка конденсатора заряжена положительным электричеством, нижняя — отрицательным, а ток в колебательном контуре равен нулю (рис. 293, а).
В этот момент вся энергия колебательного контура сосредоточена в конденсаторе. При отсутствии внешних .электродвижущих сил конденсатор начнет разряжаться, через катушку самоиндукции потечет электрический ток. Электрическая энергия конденсатора начнет превращаться в магнитную энергию катушки самоиндукции. Этот процесс закончится, когда заряд конденсатора обратится в нуль, а ток в контуре достигнет максимума (рис. 293, б). Начиная с этого момента ток, не меняя направления, начнет убывать. Однако он не сразу упадет до нуля, так как этому препятствует электродвижущая сила индукции. Ток будет заряжать нижнюю пластинку конденсатора положительно, а верхнюю — отрицательно. Возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток. В конце концов ток обратится в нуль, а заряд на конденсаторе достигнет максимума (рис. 293, в). Тогда заряды на пластинках конденсатора по абсолютной величине станут такими же, что и в исходном положении а, только знаки их будут противоположными. С этого момента конденсатор начнет разряжаться вновь — по проводам потечет ток в направлении, противоположном направлению тока в положении б. В момент максимума тока (рис. 293, г) конденсатор разрядится, а затем колебательный контур вернется в исходное состояние а. После этого описанный цикл разрядки и зарядки конденсатора повторится снова. И если бы не было потерь энергии, то такое повторение происходило бы неограниченно долго — в контуре
548
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. X
совершались бы строго периодические незатухающие электрические колебания.
4. Уравнения (122.5) и (122.6) —дифференциальные уравнения второго порядка. Если «внешних сил» ё или F нет, то уравнения линейны и однородны относительно неизвестных q или х и их производных по времени. Они описывают так называемые свободные колебания. Колебательные системы, свободные колебания которых описываются линейными уравнениями, называются линейными колебательными системами. Введем обозначения:
(122.7)
(122.8)
(122.9)
Юо = 1 Гс или = k т ’
2V = R L или 27 = С4 т ’
Х = ш с или Х = F т'
Тогда
<7-f 2yq + (alq = X, (122.10)
х + 2ух + щх = Х. (122.11)
Величина со0 называется собственной частотой колебательной системы, а у — коэффициентом затухания. Смысл этих назвавші выяснится в дальнейшем.
5. Уравнение (122.5) можно переписать в виде
v, + vD+vr=v
L 1 R 1 С в\>
где V/, VVc — напряжения на катушке самоиндукции, омическом сопротивлении и конденсаторе, a VRX — входное напряжение, подводимое к колебательному контуру. Как видно из (122.5), эти величины связаны соотношениями
