Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
mlu = — Щп-
352
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. VII
Оно показывает, что в рассматриваемом случае атомы как бы не связаны, а изолированы и каждый из них совершает гармоническое колебание с частотой со = 2 у к/т. Фазы колебаний соседних атомов сдвинуты на я. Поскольку силы взаимодействия
любых двух соседних атомов, а также их смещения в любой момент времени равны и противоположны, работа атома 1 над атомом 2 в точности равна работе атома 2 над атомом 1. Это значит, что в приближении ближайших соседей передачи энергии от атома к атому не происходит. Что касается фазовой скорости с, то при ka — я она будет
с = со//г = 2 л/ъфп.
Зависимость угловой частоты со, а также фазовой и групповой скоростей от волнового числа k графически представлена
на рис. 97 и 98. При малых k, т. е. для длинных волн, формула (56.5) переходит в со = ka л/х/т = const, а обе предельные скорости вырождаются в с = и == а л/к/т = const. В этом случае дисперсия пропадает и цепочка ведет себя как сплошная среда. Поэтому значение скорости с = и может быть получено из формулы, которую дает теория упругости для скорости звука в стержне (см. т. I, § 81). Действительно, модуль Юнга Е для цепочки следует определить с ПОМОЩЬЮ формулы Fn, = = E(ln — ln-i)/a, поскольку (In — ln-i)/a есть относительное растяжение цепочки. А так как сила натяжения равна Fn, „_і =
КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ В ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ЦЕПОЧКЕ
363
= х(|«— ]), то Е = ка. Роль же плотности играет величина
р = т/о. Поэтому из формулы для скорости звука в стержне получается
« = с = V ?/Р — а V
как это и должно быть. Таким образом, в случае длинных волн (А а) частота колебаний может быть вычислена по формулам, относящимся к непрерывной модели цепочки. Даже в случае самых коротких волн (А = 2а) ошибка, получаемая таким путем, не так уж велика: для ш получается величина я т. е. примерно в полтора раза больше правильного значения 2 д/хДи.
4. Движение цепочки в общем случае может быть представлено как наложение волн различных частот, распространяющихся вперед и назад. Конечно, всякая реальная цепочка ограничена. Обозначим число атомов в ней через п, тогда ее длина будет 1 — (п—1)а. Если атомы могут совершать только продольные колебания, то число степеней свободы цепочки будет п. Закрепим неподвижно крайние атомы. Этим число степеней свободы уменьшится на две и станет равным п — 2. Частным решением уравнения (56.1) будет волна (56.2), распространяющаяся вперед (k ^ 0). Волна той же частоты, распространяющаяся назад, также будет решением. Следовательно, частным решением будет и суперпозиция таких двух волн:
I = ^еіШ-кх) + М = еШ -f Тіоб'**).
Но так как крайние атомы закреплены, то в любой момент времени их смещения должны быть равны нулю. Значит, должно быть
1о + Ло==0, lQe-lkt + ц0еш = 0.
Из первого соотношения следует Т1о = —go- С учетом этого вто-
рое соотношение дает
ет — e~ikl = 0,
или
sin6/ = 0. (56.8)
Таким образом, получается стоячая волна
I = ійЄш (e~ikx — eikx) = — 2ig0 sin kx еш = 2?0 sin kx sin со/, (56.9) причем
kl = Nn (N = 0, 1, 2, ..., NMaKC), (56.10)
или
т. e. на длине цепочки должно укладываться целое число полуволн. Каждой стоячей волне (56.9) соответствует собственное, или нормальное, колебание цепочки.
354
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. VII
Максимальное значение N получается при максимальном значении k = n/а, т. е. /VMaKc = 1/а = п—1. Однако это значение, как и значение N = О, следует исключить, так как им соответствуют такие значения k, при которых все атомы получают одинаковые смещения. А поскольку крайние атомы неподвижны, то и все прочие атомы были бы неподвижны. Следовательно, в цепочке с закрепленными концами может возбудиться всего п — 2 нормальных колебаний, что в точности равно числу степеней свободы цепочки. Общее движение цепочки с закрепленными концами может быть представлено наложением таких п — 2 нормальных колебаний.
Итак, для длинных волн действительно можно пользоваться непрерывной моделью твердого тела. Это и делается в теории Дебая для вычисления теплоемкости твердых тел при низких температурах, когда заметной энергией обладают только длинные волны. К тому же выводу можно прийти и в общем случае, рассматривая колебания трехмерной кристаллической решетки, состоящей из одинаковых частиц (одноатомное твердое тело). Только в таком трехмерном теле, если пренебречь анизотропией, к продольным колебаниям, рассмотренным выше для одномерной цепочки, добавляются еще две ветви поперечных колебаний, т. е. колебаний, перпендикулярных к волновому вектору k и совершающихся во взаимно перпендикулярных плоскостях. Число нормальных колебаний, как и число степеней свободы, утраивается.
5. До сих пор предполагалось, что кристалл состоит из одинаковых атомов. В случае кристаллов, элементарная ячейка которых содержит несколько различных атомов, добавляются колебания этих атомов относительно друг друга. Для качественного решения вопроса воспользуемся опять одномерной цепочкой, но состоящей из двух разных атомов, чередующихся друг с другом (рис. 99). Массы этих атомов обозначим через Мит (М > пг), а их смещения из положений равновесия — через \п и тіл соответственно. Как и раньше, проведем расчет в приближении ближайших соседей, т. е. примем во внимание силы взаи-
