Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
4. В идеальной кристаллической решетке, свободной от посторонних примесей и лишенной различных дефектов (примесные атомы, атомы в междоузлиях, незаполненные узлы), плоская звуковая волна в линейном приближении должна распространяться без затухания и рассеяния в стороны. Линейное приближение означает, что разложение потенциальной энергии кристалла по степеням смещений атомов из положений равновесия обрывается на членах второй степени. Тогда возникают волны с гармоническими колебаниями атомов, или фононы, не взаимодействующие друг с другом. При наличии членов высших степеней, если они достаточно малы (а это, как правило, имеет место всегда, пока решетка не разрушена, т. е. вплоть до температуры плавления), также можно говорить о распространении плоских волн, или фононов, в кристалле. Однако в этом случае наступает взаимодействие различных волн (фононов). Поскольку энергия и импульс фононов квантуются, такое
360
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. VII
взаимодействие носит характер столкновений, в которых происходит уничтожение старых и рождение новых фононов. Наличие в потенциальной энергии членов третьей степени приводит к столкновениям, в которых одновременно участвуют три фонона. При наличии членов четвертой степени появляются столкновения четырех фононов и т. д.
Фононы и вообще квазичастицы хорошо приспособлены для описания слабых коллективных возбуждений в телах. Между последовательными столкновениями фонон движется свободно, и если «длина свободного пробега» его достаточно велика по сравнению с постоянной кристаллической решетки, то возбужденное состояние кристалла можно в известном отношении рассматривать как фононный газ. При этом число фононов не сохраняется, что дает основание рассматривать их как бозе-ча-стицы (бозоны).
На рис. 101 графически изображены примеры возможных взаимодействий фононов. Фононы изображены стрелками, а
А
>
к,ш
а) 6)
Рис. 101
факты их взаимодействия — кружками. Рис. 101, а соответствует распаду фонона k, со на два фонона ku сої и k2, со2. Рис. 101,6 изображает столкновение фононов ki, coj и k2, со2, в результате которого возникает один фонон k, со. На рис. 101, в изображено столкновение двух фононов ku сої и k2, со2, завершающееся возникновением двух новых фононов к3, со3 и fe4, со*.
При взаимодействии фононов соблюдается закон сохранения энергии. В случае процесса, изображенного на рис. 101, а, он записывается в виде
й(о = йсо, + йсо2 (57.3)
и аналогично в других случаях. Однако закон сохранения квазиимпульса может и не соблюдаться. Причиной этого является
неоднозначность волнового вектора k, отмеченная выше. Действительно, разложим, например, вектор k на два вектора: k = k\ + k'2 (рис. 102). Вектор k предполагается лежащим в основной зоне Бриллюэна, так что при нашем ограничении hk является квазиимпульсом. Но предположим, что составляющие векторы ftj и k'2 (или по крайней мере один из них) настолько
к
Рис. 102
ФОНОНЫ И КВАЗИЧАГ.ТИНЫ
длинны, что они не умещаются в основной зоне Бриллюэна. Тогда, при нашем ограничении, векторы hk\ и hk2 не будут квазиимпульсами. Квазиимпульсы hk 1 и hk2 получаются из них путем прибавления векторов вида 2лпК, где К — вектор обратной решетки (56.15), а п = 0, ±1......Например, для процесса,
соответствующего рис. 101, а, следует писать
hkx + hk2 = hk + 2пК. (57.4)
Если п=0, то в процессе взаимодействия фононов квазиимпульс сохраняется. Такие процессы называются нормальными. Если же пф 0, то соответствующие процессы называются процессами переброса. Существование процессов переброса лишний раз оправдывает введение терминов «квазичастица» и «квазиимпульс» вместо простых терминов «частица» и «импульс».
Конечно, соотношения вида (57.3) и (57.4) справедливы не только при взаимодействии фононов между собой, но и при взаимодействии их с другими частицами и квазичастицами, например с фотонами. При переводе на классический язык эти соотношения выражают законы интерференции волн, принцип Допплера и вообще законы изменения частоты волн при различных процессах. Вот почему комбинационное рассеяние света, рассеяние Мандельштама — Бриллюэна, эффект Вавилова — Черенкова, изменение частоты света при распространении в гравитационном поле и другие явления могут быть истолкованы как с волновой точки зрения, так и с помощью представления
о квазичастицах.
5. Воспользуемся теперь представлением о фононах для рассмотрения теплопроводности твердых тел. Мы имеем в виду диэлектрики, а не металлы. В диэлектриках перенос тепла осуществляется фононами, тогда как в металлах основную роль в этом процессе играют электроны. Само понятие теплопроводности относится к локально равновесному состоянию неподвижного тела, каждой точке которого можно приписать определенную температуру. Чтобы получить полностью равновесное состояние тела, можно, например, заключить его в жесткую оболочку, поддерживаемую при постоянной температуре. Тогда в результате теплового возбуждения фононов, их поглощения и рассеяния на других фононах, на примесях и дефектах решетки, на границах тела и окружающей оболочки, в конце концов установится полностью термодинамически равновесное состояние тела, однозначно определяемое только температурой оболочки. Оно характеризуется вполне определенным значением плотности энергии фононов в пространстве, вполне определенным распределением ее по спектру частот, хаотическим (в частности, изотропным) распределением направлений распространения фононов. В этом отношении равновесное состояние фононов в полости напоминает аналогичное состояние фотонов — черное
