Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
(53.3) имеет вид
гр* (х) = a sin kxx + b cos kxx.
Постоянная b должна равняться нулю, так как в силу граничного условия ф*(0) = Ь = 0. Граничное же условие на стенке x = L дает г)з *(?•) — я sin kxL — 0, так что sin^L = 0. Аналогичные соотношения имеют место и для ky, kz. Следовательно,
kx ~~j~ tix, ky ~j~ tiy, kz ~~j~~ tiz, (53.5)
где tlx, ny, nz — целые числа: tix, tiy, nz= 1,2,3, ... (отрицательные значения их не приводят к новым линейно независимым решениям, а значения nx = ny — nz = 0 дают тривиальные решения фх = 0, ipy = 0, іряг = 0 и, следовательно, ф = 0).
Таким образом, получается частное решение уравнения (53.1)
¦ф = sin kxx sin kyy sin kzz, (53.6)
обращающееся в нуль на стенках сосуда. Соответствующая волновая функция, зависящая от времени, представляет собой стоячую волну. Суперпозиция таких стоячих волн с постоянными амплитудами и будет общим выражением для волновой функции внутри сосуда. Каждой тройке целых чисел пх, пу, пг соответствует одна стоячая волна, т. е. одно стационарное квантовое состояние частицы.
2. Чтобы найти число dZ(k) стационарных состояний в интервале волновых чисел от k до k-\- dk, вообразим пространственную кубическую решетку, ячейки которой являются кубиками со стороной n/L и объемом я3/ZA Тогда число dZ(k) будет равно числу узлов в зазоре положительного октанта такой
340
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. VII
решетки, который заключен между сферами с радиусами k и k -f- dk, т. е. отношению объема такого зазора к объему ячейки:
1 Ank2 dk Vk2 dk
dZ (k) = ? “да- = 2Ї? ¦ ^53-7)
где V = L3 — объем сосуда.
Для электронов (и вообще частиц со спином 1/2) выражение (53.7) следует удвоить, так как каждой пространственной волновой функции в этом случае соответствуют два спиновых состояния с противоположно ориентированными спинами. Для фотонов выражение (53.7) следует также удвоить, чтобы учесть возможность двух взаимно перпендикулярных поляризаций. В этих случаях
dZ3A (k) = dZ^{k) = (Vk2ln2) dk. (53.8)
Последняя формула, конечно, не может быть обоснована с помощью уравнения (53.1), так как уравнение Шредингера для фотонов неприменимо. Однако она уже была выведена нами с помощью уравнений Максвелла при рассмотрении вопросов теплового излучения (см. т. IV, § 117).
От волновых чисел можно перейти к импульсам, пользуясь
формулой р = hk и, следовательно, dp = ti dk. В этих перемен-
ных
dZM (р) = dZ^(p) = (Vp2/M dp. (53.9)
Можно также в качестве переменной принять энергию частицы
&. Однако из-за различной связи энергии с импульсом в этом случае получаются различные выражения для электронов и для фОТОНОВ. ДЛЯ ЭЛеКТрОНОВ <§ = р2/2(1,
dZ31l = {V VVt/jx2fi3) d<T. (53.10)
Для фотонов р = <§/с,
dZb = {V$2lnW)d%. (53.11)
§ 54. Теория Дебая теплоемкости твердых тел
1. Как было показано в т. II (см. §§ 69 и 85 указанного тома), применение квантовой теории позволило Эйнштейну уже в 1906 г. дать принципиальное объяснение падения теплоемкости твердых тел вблизи абсолютного нуля температур. Эйнштейн рассматривал твердое тело как совокупность N независимых частиц (гармонических осцилляторов), колеблющихся около положений равновесия с одной и той же частотой со. Средняя энергия, приходящаяся на одну степень свободы, в этом случае определяется формулой Планка
ТЕОРИЯ ДЕБАЯ ТЕПЛОЕМКОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
в которой опущен член /ш/2, представляющий нулевую энергию осциллятора. Этот член надо учитывать в тех вопросах, когда существенна амплитуда колебаний, например в вопросе о зависимости рассеяния рентгеновских лучей от температуры. Но в вопросе о теплоемкости нулевая энергия роли не играет, поскольку она не зависит от температуры. По этой причине она и опускается в дальнейшем.
При высоких температурах формула (54.1) переходит в классическое выражение г = kT, а потому в вопросе о теплоемкости приводит к закону Дюлонга и Пти. При низких температурах формула, полученная Эйнштейном, дает убывание теплоемкости с температурой, причем теплоемкость стремится к нулю в согласии с тем, что требует эмпирически установленная теорема Нернста. Однако согласие теории с опытом получается только качественное. Так, по формуле Эйнштейна вблизи абсолютного нуля теплоемкость твердого тела должна убывать с температурой по экспоненциальному закону, тогда как опыт приводит к более медленному убыванию по степенному закону. Можно было думать, что такое расхождение теории с опытом связано не с принципиальными недостатками теории, а обусловлено грубостью примененной модели твердого тела. В теории Эйнштейна осцилляторы считаются независимыми. Но будет гораздо ближе к действительности, если их рассматривать связанными. В таком случае в теле возбудится не колебание с одной частотой, а получится целый спектр частот со,-. Число этих частот равно ЗЛ^, т. е. числу степеней свободы N частиц, из которых состоит тело (конечно, среди этих частот могут быть и совпадающие) .
Если твердое тело рассматривать как систему N связанных частиц, совершающую нормальные гармонические колебания, то его средняя энергия определится по формуле
