Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Число нормальных колебаний с частотами меньше со, конечно, дискретное, но оно очень велико и может быть аппроксимировано непрерывной функцией Z(со). Число нормальных колебаний в интервале частот от со до со dco тоже очень велико, но может рассматриваться как дифференциал dZ(со) той же функции. В указанном приближении предыдущую формулу можно заменить на
гомакс
*= S
J е - 1
(54.2)
342
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. VIT
в ^оторой Ымакс означает максимальную частоту нормальных колебаний. Она определяется из соотношения
Z(coMaKC) = 3 N, (54.3)
так как общее число нормальных колебаний равно числу степеней свободы 3N. Таким образом, в квантовой теории задача нахождения средней энергии твердого тела сводится к определению „собственных частот нормальных колебаний, тогда как в классической теории этого делать не требуется, так как по этой теории средняя энергия зависит только от общего числа степеней свободы.
2. Вычислением собственных частот колебаний кристаллической решетки применительно к теории теплоемкости занимались Борн и Карман (1881—1963). Это —очень трудная задача. Однако в вопросе о теплоемкости твердых тел при низких температурах она может быть сильно упрощена, что и было сделано Дебаем. Рассмотрим среднюю энергию осциллятора ё, определяемую планковской формулой (54.1) как функцию абсолютной температуры Т. Для этого представим эту формулу в виде
ё = (54.4)
где введена безразмерная переменная x = h(a/kT. График этой функции представлен на рис. 94. Из него видно, что в выражении (54.2) для средней энергии тела существенны члены, соответствующие только 'низким частотам нормальных коле-% 'яЗаШТ баний. Им соответствуют длины волн, большие по сравнению с по-Рис. 94 стоящной кристаллической решетки.
Это позволяет отвлечься от атомистической структуры тела и рассматривать нормальные колебания в нем как стоячие инфразвуковые волны в упругой сплошной среде. Это — те же волны, которые вызывают тонкую структуру спектральных линий при молекулярном рассеянии света (эффект Мандельштама — Бриллюэна, см. т. IV, § 99). Таким образом, существенные низкие собственные частоты тела могут быть вычислены методами теории упругости, в которой среда считается сплошной.
Выражение для dZ(со) может быть найдено из дифференциальных уравнений теории упругости совершенно так же, как была выведена формула (53.7) для такой же величины в случае волн де Бройля. При этом надо только принять во внимание, что в твердом теле могут распространяться как продольные, так
ТЕОРИЯ ДЕБАЯ ТЕПЛОЕМКОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
343
и поперечные звуковые волны. В одном и том же направлении может распространяться только одна продольная звуковая волна определенной частоты. Поэтому для продольных волн формула (53.7) может быть сохранена без изменений (разумеется, с заменой фазовой скорости волн де Бройля на скорость звука). Поперечных же волн, распространяющихся с той же частотой и в том же направлении, может быть две. Поэтому в этом случае выражение (53.7) надо удвоить. Таким образом,
, , Fa2 dm /1 , 2 \ 3Fa2 rfco ,r.
dz И =-^5- f -Т + 7Г ) = -ТДГз..• (54'5>
2я ч II x /
где V — объем тела, сц — скорость продольных, а с± — поперечных звуковых волн. Величина же с есть некоторая «средняя скорость», определяемая соотношением
3 1 I 2 /кл
з з + з ¦ (54.6)
С Сц С±
В этом выводе не учтена анизотропия упругих свойств кристаллов, проявляющаяся даже для кристаллов кубической системы. Тело считалось изотропным, и его упругие свойства характеризовались двумя постоянными, за которые, в частности,
можно принять обе скорости звука сц и с±. Но учет анизотропии малосуществен и вряд ли оправдан в рамках приближенного метода Дебая..
3. Средняя энергия кристалла, согласно (54.2), будет равна
“макс
s зVh С со3 rfco /с .
і ’ {54J)
и
или, вводя прежнее обозначение x — fim/kT, а также ХуіЯКС~
==: /іСОмакс/kTt
*макс
г 3VVT* [ dx /гооч
W і ^=Т- <53'8)
о
Для низких температур подынтегральное выражение при высоких частотах (х 1) очень мало. В этом случае точное определение верхнего предела хМакс несущественно и его можно принять равным бесконечности, т. е.
3 У^Т*
2 я2с3Й3
о
оо
5 ~^т- (54.9)
Входящий сюда интеграл в точности совпадает с тем, который встречался при выводе закона Стефана — Больцмана из
344
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. VII
формулы Планка (см. т. IV, § 118). Он равен
оо
(54.10)
о
Таким образом, при низких температурах (лгмаКс 1)
макс
& = DT\
(54.11)
(54.12)
где
D = Vn2k4{l0c3h3). Для теплоемкости тела получаем
Cv = (дЖ!дТ)у = 4 DT3.
(54.13)
Таким образом, теплоемкость кристаллической решетки вблизи абсолютного нуля температур меняется пропорционально третьей степени температуры. Это — закон кубов, теоретически найденный Дебаем. Согласно этому закону при Т = 0 теплоемкость обращается в нуль в согласии с теоремой Нернста. Закон кубов Дебая, вообще говоря, хорошо согласуется с опытом (см., впрочем, пункт 5 настоящего параграфа). Конечно, надо помнить, что формула (54.11), как и закон кубов, относится только к теплоемкости кристаллической решетки. В случае металлов к теплоемкости решетки надо добавить теплоемкость свободных электронов, которая меняется пропорционально первой степени температуры (см. т. II, § 85).
