Общий курс физики Том 5. Часть 1. Атомная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Наличием свободных электронов объясняется высокая электрическая проводимость и теплопроводность металлов, специфический металлический блеск, особые механические свойства, позволяющие осуществлять ковку и штамповку.
Каждый ион кристаллической решетки металла заряжен положительно. Из-за этого между ионами действуют электрические силы отталкивания. Свободные электроны уравновешивают эти силы и удерживают ионы в положениях равновесия. Всякий раз, когда ион выходит из положения равновесия, легкие и быстрые свободные электроны перераспределяются в пространстве так, что возникают силы, возвращающие ион в положение равновесия. Этим и обеспечивается устойчивость кристаллической решетки и самого металла.
§ 56. Колебания атомов в одномерной прямолинейной цепочке
1. Для строгого обоснования допустимости и установления границ применимости сплошной модели твердого тела, использованной Дебаем в теории теплоемкости, надо, разумеется, рассмотреть задачу о колебаниях кристаллической решетки в последовательно атомистической постановке, как это сделали Борн и Карман. Рассмотрим этот вопрос на примере одномерной
350
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. VII
прямолинейной цепочки атомов. Таким путем, конечно, мы не получим точных количественных результатов, пригодных для трехмерного тела, но сильно упростим исследование и в то же время сохраним самые существенные качественные результаты.
2. Допустим сначала, что все атомы цепочки одинаковы и в положениях равновесия находятся на одинаковых расстояниях а друг от друга. Учтем только силы, действующие на каждый атом цепочки, которые исходят от двух соседних атомов. Действием всех остальных атомов пренебрежем. Такое упрощение называется приближением ближайших соседей. Пусть атомы могут испытывать только продольные смещения из положений равновесия. Смещение п-го атома обозначим через Относительное смещение соседних атомов (?* — ?л-і) будем считать малым по сравнению с «постоянной решетки» а. При смещении «-го атома относительно (п— 1)-го возникает сила Fn,n-\, действующая на него и направленная противоположно относительному смещению. При малых относительных смещениях ее можно считать квазиупругой, г. е. положить равной
Рп. n-І = — « (In — In-1).
где «коэффициент упругости» х для рассматриваемой цепочки есть величина постоянная. Полная сила, действующая на атом, будет
Рп, п-\ + Fn. n + l = — * (In ~ In-і) — И (In — ln+l) =
= 54 (In-i 2|n
а уравнение движения имеет вид
= — 2|n + |n+i), (56.1)
где т — масса атома.
Нахождение общего решения уравнения (56.1) для очень большого числа атомов N — очень трудная задача. Для нахождения частного решения рассмотрим прежде всего случай, когда N = оо, точнее, когда цепочка атомов бесконечно простирается в обе стороны. Цепочка обладает трансляционной симметрией, т. е. переходит сама в себя при сдвиге на любое целое число периодов а. Можно думать, что существует частное решение уравнения (56.1), отвечающее этому типу симметрии: все атомы совершают одинаковые гармонические колебания, но фазы этих колебаний сдвинуты на одну и ту же величину при переходе от каждого атома к соседнему с большим номером. Такое решение предстаїзляется бегущей монохроматической волной постоянной амплитуды
? = ?0еі№г-*х>. (56.2)
Особенность этой волны состоит в том, что аргумент х может принимать только дискретные значения хп = па (« = ...,—2,
КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ 6 ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ЦЕПОЧКЕ
351
— 1, 0, +1, +2, ...)¦ Если волновое число k заменить на k = = (2л/а)р, где р — любое целое число, то колебания всех атомов цепочки не изменятся. Поэтому, не нарушая общности, можно ограничить изменения k одним интервалом длины 2п/а, называемым зоной Бриллюэна. В частности, интервал
— n/a^-k^n/a (56.3)
называется основной зоной Бриллюэна (1889—1969). При положительных k волна бежит вперед (вправо), при отрицательных— назад (влево). При таких k длина волны А (величина
существенно положительная) может изменяться в пределах
оо > Л ^ 2а. (56.4)
Таким образом, из-за дискретности структуры не имеет смысла говорить о распространении волн, длины которых меньше 2а. Например, если бы положить А = а, то в этом случае смещения всех атомов в каждый момент времени были бы одинаковы, т. е. цепочка перемещалась бы как целое. А это эквивалентно длине волны Л — оо, входящей в интервал (56.4).
Найдем теперь условие, при котором волна (56.2) будет решением уравнения (56.1). Для этого замечаем, что %п = —ю2^. Подставляя это выражение в уравнение (56.1), найдем, что оно будет удовлетворено при условии
0)2 =-*(2 —е«« —е-<*«) = 2 — (1 —cos ka).
т ' ’ т ' '
Ограничиваясь положительными значениями k, отсюда получаем со = 2 л/п/т sin (ka/2), (56.5)
так как, конечно, частота ш существенно положительна.
3. Фазовая скорость волны равна
с = п/к = а УЙМ -!^д/2/2'¦. (56.6)
т. е. зависит от k, а значит, и от Л. Следовательно, имеет место дисперсия, почему формула (56.5) и называется дисперсионной. Групповая скорость волны равна
и = dm/dk = а л]к/т cos {ha/2). (56.7)
При ka = я (т. е. при Л = 2а) она обращается в нуль. В этом случае волна не переносит энергию. Физическую причину этого легко уяснить при обращении к рис. 96. На нем стрелками представлены мгновенные смещения атомов для случая, когда Л = 2а. В этом случае, как видно из рисунка, g„_i = |,1+1 = — так что уравнение (56.1) принимает вид -
