Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
решеткой. Если же поместить по одной точке в центрах граней элементарной ячейки, то получится решетка, называемая ромбической гранецентрированной. На первый взгляд кажется, что обе решетки — сложные. На самом деле это не так.
Действительно, узлы объемноцентрированной решетки могут быть представлены выражениями
г=пга + п2Ь-\-п3Ст (130.2)
и
r = (rii + -g-j а + '^п2 + yJ & 2"j с» (130.3)
Перейдем к новому базису:
a’ = -a+b + ct b'=*=lL±?f c>=2dі|и?, (130.4)
т. e. примем за базисные векторы, соединяющие вершину одного из параллелепипедов с центрами примыкающих к ней трех параллелепипедов. Тогда
а=Ь'-\-с', Ь=с'-\-а', с=а'+Ь', и выражения (130.2) и (130.3) примут вид
г=(п2 + п3)а' -^(пз + п^Ь’+ (п1-\-п2)с', (130.2а)
г={п%-\-tis-\-1) а' 4- (п3-\-п2 4-1) b'-j-п%-1- 1) с'. (130.26)
§ 130]
КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ
517
Но оба они содержатся в выражении г = тха! + m2b' + т;,с', еслн только тъ т2, т3 принимают всевозможные целочисленные значения. Отсюда следует, что обьемноцентрированная решетка является примитивной.
Аналогичное рассуждение можно провести и для гранецентриро-ванной решетки. Надо только принять за новые базисные векторы три вектора, соединяющие какую-либо вершину параллелепипеда с центрами примыкающих к ней трех граней, например
а' = ^±?, = с'=^. (130.5)
Исходный прямоугольный параллелепипед для простой ромбической решетки может быть принят за основной. Однако он не является основным для объемно- и гранецентрированных решеток. Действительно, в этих случаях путем трансляций базиса а, Ь, с нельзя получить все узлы решетки. Но трансляциями базисов
(130.4) и (130.5) этого можно достигнуть. Поэтому для объемно-центрированной решетки за базисный параллелепипед можно принять параллелепипед (130.4), а для гранецентрированной — параллелепипед (130.5).
Для гранецентрированной и объемноцентрированной решеток базисные параллелепипеды, вообще говоря, будут косоугольными. Действительно, рассмотрим частный случай, когда исходный прямоугольный параллелепипед вырождается в куб (см. рис. 164, первый ряд). Тогда угол а между двумя соседними базисными векторами
(130.4), т. е. угол между пространственными диагоналями куба, будет определяться уравнением sin (а/2) = 1Д^З, из которого получаема = 70° 32'. Углы же между базисными векторами (130.5) (т. е. между диагоналями соседних граней куба) будут составлять 60°. Таким образом, решетки, получаемые из простой кубической решетки путем центрирования граней и объемов основных кубов, будут примитивными. Однако они не будут простыми кубическими решетками.
5. Из каждой примитивной решетки можно выделить параллелепипед, называемый приведенным. Он получается следующим образом. Рассмотрим совокупность всех векторов, соединяющих попарно узлы решетки. Из них выберем вектор минимальной длины и примем его за вектор ах. Из оставшихся векторов выберем вектор минимальной длины, не коллинеарный с ах. Его примем за вектор а2- И3 всех остальных векторов выберем вектор минимальной длины а3, не компланарный с векторами ах и а2. Базис аи а2, as и построенный на нем параллелепипед и называются приведенными. Основное свойство приведенного параллелепипеда состоит в том, что этот параллелепипед — примитивный. Для доказательства заметим прежде всего, что вершины приведенного, как и всякого
518
СИММЕТРИЯ И СТРОЕНИЕ КРИСТАЛЛОВ
[ГЛ. XII
основного параллелепипеда, помещаются в узлах решетки. После этого предположим, что внутри приведенного параллелепипеда имеется узел решетки М (рис. 162). Опустим из М перпендикуляр MN на ближайшую грань параллелепипеда. Из основания перпендикуляра N опустим новый перпендикуляр NP на ближайшее ребро грани, проходящей через точку N. Наконец, соединим точку Р с ближайшим концом О ребра, на котором она расположится. Из построения ясно, что длины взаимно перпендикулярных отрезков MN, NP и РО не могут превосходить половину длины максимального ребра приведенного параллелепипеда а3/2. Отсюда и из теоремы Пифагора следует, что ОМ 1^3а3/2<а3. Это значит, что вектор ОМ, соединяющий узлы О и М, короче вектора а3 и не компланарен с векторами а, и й2. Но это противоречит предположению, что базис аи аг, а3 — приведенный.
Рис. 162. Аналогичные рассуждения с линейной
и плоской решетками показывают, что не может существовать внутренних узлов на ребрах и гранях приведенного параллелепипеда. Доказанная теорема позволяет в качестве основного брать приведенный параллелепипед.
6. В математических рассуждениях часто бывает удобно, наряду с самой пространственной решеткой, вводить вспомогательную систему точек, называемую обратной решеткой. Базисными векторами обратной решетки являются векторы, взаимные по отношению к векторам alt а2, а3, т. е.
[«2«3] [аів2]
'([аде] ая)’ 2 ([«!«;,] ая) ’ 3 ([аде] ая)
(130.6)
(см. т.1, § 7, задача 9). Объемы базисных параллелепипедов исходной и обратной решеток связаны соотношением
VV*=l. (130.7)
ЗАДАЧА
Доказать, что обратная решетка не зависит от выбора базнса. Решение. Перейдем к новому базнсу:
eI = «i+n2«2. а'2=а2, «з = а3. (130.8)
