Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
154). Если плоскость П принять за координатную плоскость XY прямоугольной системы координат, то при отражении в этой плоскости точка (х, у, г) переходит в точку (х, у, —г). В случае двукратного и вообще четного числа отражений в одной и той же плоскости получается тождественное преобразование, при котором тело возвращается в исходное положение. Примером отражения в плоскости может служить переход от тела к его мнимому оптическому изображению в плоском зеркале.
Все операции симметрии могут быть сведены к последовательно выполняемым операциям отражения в плоскости. Так, поворот на угол а можно получить путем двух последовательных отражений в двух плоскостях ОА и ОВ, пересекающихся на оси поворота О под углом х/2 а (рис. 155). Если ось поворота О удалить в бесконечность, т. е. выполнить два отражения в двух параллельных плоскостях, то поворот перейдет в параллельный перенос (трансляцию). Если выполнить последовательно три отражения в координатных плоскостях х = const, у = const, z — const, то точка (х, у, г) перейдет в точку (— х, — у, — г). В результате получается
510
СИММЕТРИЯ и СТРОЕНИЕ КРИСТАЛЛОВ
[ГЛ. XII
инверсия или отражение в начале координат. Таким образом, симметрию любого тела можно описать с помощью одних только операций отражения. Однако для большей наглядности удобнее при таком описании пользоваться и сложными операциями симметрии, сводящимися к последовательно выполняемым отражениям в плоскостях.
Определенные геометрические точки, прямые и плоскости, симметрично расположенные относительно тела, называются его элементами симметрии. К ним относятся ось симметрии, плоскость симметрии, зеркально-поворотная ось, центр симметрии и пр. Совокупность всех элементов симметрии тела называется его группой симметрии. Группы симметрии, содержащие только
Рис. 155.
операции отражения, поворота и инверсии, но не содержащие трансляций, называются точечными группами. Такие группы оставляют на месте по крайней мере одну точку тела и описывают симметрию конечных фигур: атомов, молекул, многогранников и пр. Группы симметрии, содержащие, наряду с перечисленными операциями, также трансляции, описывают симметрию бесконечных систем с периодической структурой. Они называются пространственными группами.
2. Если тело переходит само в себя при повороте на угол <рп — — 2л,/п (п — 2, 3, 4, ...) вокруг некоторой оси, то эта ось называется поворотной осью или осью симметрии п-го порядка. В дальнейшем ради краткости условимся обозначать одним и тем же символом элемент, симметрии и соответствующее ему преобразование. Так, поворотную ось п-то порядка и поворот вокруг нее на угол 2л/п будем обозначать одним и тем же символом С„. Если п = 1, то тело поворачивается на угол <р, = 2зт, т. е. возвращается в исходное положение. Такой поворот, следовательно, есть тождественное преобразование. Ему самому по себе не соответствует никакая симметрия. При повороте на угол <р = р (2піп), где п — целое
$ 129]
СИММЕТРИЯ ТЕЛ
511
<
В
>
А
Рис. 156.
число, тело, очевидно, также переходит само в себя. Угол <р можно представить в виде <р = 2л: (nip). Отсюда видно, что если п кратно р, то рассматриваемая поворотная ось С„ будет одновременно поворотной осью более низкого порядка nip, т. е. осью Сп/р. Так, геометрическая ось АВ правильной шестигранной призмы (рис. 156) является поворотной осью шестого, третьего и второго порядков.
3. Если тело переходит само в себя в результате зеркального отражения в некоторой плоскости, то эту плоскость называют плоскостью симметрии. Ее, а также соответствующую операцию отражения обозначают а. Так, человеческое тело, если отвлечься от расположения внутренних органов (сердце находится слева), имеет плоскость симметрии, которая делит его на две похожие половины: правую и левую.
Наличие в теле поворотной оси любого порядка еще не означает, что в нем есть плоскость симметрии, проходящая через эту ось. Так, правильная шестигранная призма (рис. 156) имеет шесть плоскостей симметрии, проходящих через ось АВ. Если взять совокупность таких призм с общей осью, произвольно повернутых относительно друг друга, то поворотная ось сохранится, однако плоскостей симметрии, проходящих через эту ось, вообще говоря, не будет.
4. Операция поворота тела вокруг неподвижной оси на угол 2п/п с одновременным отражением его в плоскости, перпендикулярной к той же оси, называется зеркально-поворотным преобразованием. Если в результате такого преобразования тело переходит само в себя, то соответствующую ось называют зеркально-поворотной осью п-го порядка. Так, система из четырех точек ABCD на рис. 157 обладает зеркально-поворотной осью четвертого порядка. Очевидно, эта ось является также обычной поворотной осью второго порядка. Зеркально-поворотные преобразования и ось будем обозначать Sn.
Легко видеть, что при нечетном п зеркаль-но-поворотная ось n-го порядка не является новым элементом симметрии, а сводится к комбинации поворотной оси n-го порядка Сп и перпендикулярной к ней плоскости симметрии а. (Поэтому при рассмотрении зеркально-поворотных осей достаточно ограничиться осями четных порядков.) Действительно, повторим операцию Sn п раз. Тело повернется на угол 2 л, претерпев нечетное число отражений. Все эти операции эквивалентны
