Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 133. Миллеровские индексы и индексы направлений
1. Для определения положения атомов в кристаллической решетке пользуются специальными прямолинейными системами координат, называемыми кристаллографическими. За начало координат принимается один из узлов решетки, а за координатные оси — ребра соответствующего параллелепипеда Браве. Для моноклинных и триклинных кристаллов выбор параллелепипеда Браве не однозначен. В гексагональных кристаллах за оси X и У принимают стороны основания основного параллелепипеда, образующие угол 120°, а за ось Z — ребро, перпендикулярное к этому основанию. В моноклинных кристаллах за ось Z принимают ребро, перпендикулярное к основанию параллелепипеда Браве. Мы видим, что в кубических, тетрагональных и ромбических кристаллах системы координат прямоугольные, в остальных кристаллах — косоугольные. Ребра параллелепипеда Браве принимаются за единицы длины в направлениях координатных осей. Такие единицы длины называются осевыми. Таким образом, в направлениях различных осей координат единицы длины разные. Так, атом в центре основного параллелепипеда Браве ромбического кристалла имеет координаты О/г. 1/г. 1/2). а атом в центре грани XY того же параллелепипеда — координаты (*/2, 1/2, 0). Кристаллографические координаты применяются и для характеристики направлений кристаллических плоскостей и узловых линий решетки.
§ 133] МИЛЛЕРОВСКИЕ ИНДЕКСЫ И ИНДЕКСЫ НАПРАВЛЕНИИ 529
Кристаллической или узловой плоскостью называется всякая плоскость, в которой находится бесконечное множество атомов решетки. Практическое значение имеют только плоскости, усеянные атомами достаточно густо. Именно они служат естественными гранями кристалла *). Кристаллические плоскости имеют большое значение для методов рентгеноструктурного и нейтроноструктурного анализа кристаллов. Узловой линией называется прямая, на которой расположено бесконечное множество атомов решетки. Основное значение имеют опять узловые линии, на которых атомы расположены достаточно густо.
2. Опишем теперь, как характеризуются направления кристаллических плоскостей в кристалле. Все параллельные плоскости имеют по определению одно и то же направление. Из них всегда можно выбрать плоскость, проходящую через любой узел решетки. Поэтому, не теряя общности, можно при рассмотрении вопроса о направлении кристаллических плоскостей ограничиться примитивными решетками. В таких решетках координаты всех узлов целочисленны. Каждую кристаллическую плоскость можно представить уравнением
T+5+f=I* <1331)
где Л, В, С — длины отрезков (в осевых единицах), отсекаемые этой плоскостью на координатных осях. Эти длины всегда выражаются рациональными числами (положительными или отрицательными). Для доказательства выберем в плоскости (133.1) какие-либо три узла, не расположенные на одной прямой. Подставляя их (целочисленные) координаты в (133.1), получим три линейных уравнения с неизвестными 1/Л, 1/В, 1/С и целочисленными коэффициентами. Эти уравнения однозначно определяют рассматриваемые неизвестные как рациональные числа. Следовательно, уравнение (133.1) всегда может быть приведено к виду
hx+ky + lz=D, (133.2)
в котором коэффициенты h, k, I являются целыми числами. Можно считать, что они не имеют общего множителя, так как на таковой всегда можно сократить. Полученные таким образом целые числа h, k, I однозначно определяют направление кристаллической плоскости и называются миллеровскими индексами или просто
*) Внешняя поверхность кристалла приобретает правильную естественную форму лишь при условии свободного роста его. Неравномерность распределения температуры, неоднородность концентрации вещества в различных местах раствора, в котором растет кристалл, примеси посторонних веществ, механические препятствия и т. п. приводят к тому, что одни грани кристалла растут быстрее, другие — медленнее, чем требуется для того, чтобы кристалл принял правильную естественную форму.
530
СИММЕТРИЯ и СТРОЕНИЕ КРИСТАЛЛОВ
[ГЛ. XII
индексами этой плоскости. Совокупность миллеровских индексов кристаллической плоскости принято заключать в круглые скобки, например (hkl). Если какой-либо индекс отрицателен, то знак минус пишут над ним, например, 1, 3 и т. д.
В качестве примера рассмотрим кубическую решетку (рис. 169). Заштрихованная грань куба представляется уравнением у = 1
или Ох + \у + 0z = 1. Значит, ее миллеровскими индексами будут (010). Индексы остальных граней: (100) и (001). Диагональная плоскость ОВС представляется уравнением х — у — = 0 и, следовательно, имеет индексы (ПО). Индексами плоскости ABC будут (111).
3. Всякая естественная грань кристалла, как уже сказано выше, является кристаллической плоскостью.
'’0'"—----------------—^ OCs Рассмотрим какие-либо две естествен-
у' _ ные грани кристалла с миллеровски-
у ' п ми индексами (hkl) и (h'k’V). Пусть
Рис. 169. А, В, С и А', В', С' —длины отрезков
(в осевых единицах), отсекаемые этими гранями на координатных осях решетки. Как видно из уравнения (133.2), эти длины обратно пропорциональны соответствующим мил-леровским индексам, т. е.
