Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
направлении оси г, то нам будет казаться, что частица по-прежнему
движется в направлении оси г, а ее спин остается параллельным направлению
ее движения. Исключение составляют два случая: если и > v, то скорость и
спин антипарал-лельны; если же и = v, то утверждение о параллельности
скорости и спина утрачивает смысл, ибо мы увидим частицу покоящейся.
Другие состояния, в которых спин и скорость параллельны, т. е. состояния,
порожденные преобразованиями Т(4, ф), также сохраняют свое отличительное
свойство, если их рассматривать из системы координат, движущейся в
направлении скорости частицы при условии, что система координат движется
не быстрее частицы. Этого также можно было ожидать заранее. Однако если
состояние, порожденное преобразованием Т(0, ф), рассматривать из системы
координат, движущейся со скоростью v' = с th ф' в направлении -у, то спин
и скорость не будут более казаться параллельными, если только скорость
частицы v не будет достаточно близкр к скорости света. Последняя оговорка
существенна. Она означает, что при больших скоростях состояния частицы с
параллельными спином и скоростью [т. е. состояния, порожденные
преобразованием (1.4) с большим ф], если их рассматривать из системы
координат, движущейся не слишком быстро в направлении скорости частицы,
остаются состояниями того же класса. В предельном случае, когда частица
движется со скоростью света, эти состояния становятся инвариантными
относительно всех преобразований Лоренца.
Убедимся сначала в том, что спин и скорость в состоянии
(1.1) с точки зрения системы координат, движущейся в направлении -у, не
будут казаться параллельными. Рассматриваемое состояние порождено
преобразованием
Это преобразование не имеет вида (1.4). Чтобы привести (1.6) к виду
(1.4), умножим матрицу преобразования справа на /?(е), т. е. повернем
сначала спин. Угол е определяется из уравнения
А (0, ф) = Т (0, ф),
ch ф' sh ф sh ф' ch ф sh ф'
0 сйф вЬф . (1.6)
sh ф' sh ф ch ф' ch ф ch ф'
, th ф' V' (. оМ'/г
(1.7)
5. Релятивистская инвариантность и квантовые явления
81
он называется углом между спином и скоростью. При с<Сс угол е совпадает с
углом, который вектор суммы двух взаимно ортогональных скоростей и и и'
образует с первой из них. При скоростях v, близких к с, угол е становится
малым. В этом случае вряд ли необходимо поворачивать спин на нужный угол
от оси z прежде, чем сообщать частице скорость в направлении оси г. Все
сказанное содержится в тождестве
это тождество нетрудно проверить прямым вычислением. Правая часть
соответствует частице с параллельными спином и скоростью. Величина и
направление последней определяются из хорошо известных соотношений
Приведенное в тексте соотношение (1) следует из (1.7) и (1.86) при v " с.
Приближенная инвариантность состояний 7(Ф, ф)ф0 (где фо- стандартное
состояние, а ф " 1) относительно всех преобразований Лоренца
математически выражается равенствами
Эти равенства показывают, как выглядит из других лоренцевых систем
отсчета волновая функция состояния 7(0, ф)ф0. Аналогичные равенства
нетрудно выписать и для всех состояний Т(а, ф)фо- В частности,
соотношение (1.5а) показывает, что интересующие нас состояния инвариантны
относительно поворотов системы координат, соотношение (1.9а) -что эти
состояния инвариантны относительно преобразований Лоренца, скорость
которых в направлении движения частицы не слишком велика (так что ф' + ф
0, т. е. ф' не слишком большое отрицательное число). Наконец, чтобы
доказать (1.96), вычислим вероятность перехода между состояниями
А (|, Ф')Л(0, Ф)/?(е) = т ф");
(1.8)
(1.8а)
и
(1.86)
R (•&) Т (0, ф) ф0 = Т (#, ф) ф0,
А (0, ф') Т (0, ф) ф0 = Т (0, ф' + ф) ф0,
(1.5а)
(1.9а)
(1.96)
л (j, ф') т (0, ф) ф0 и Т (#, ф") ф0,
82
I. Симметрия и другие физические проблемы
где Ф и ф" определяются из соотношений (1.8а) и (1.86). Из тождества
(1.8) получаем
(а (|, ф')г(0,Ф)ф0, Т(Ъ, Ф")ф0) =
= (Т ('9'. ф") я-1 (е) Ф0, Т (О, ф") ф0) =
= (R-' (г) ф0) фо)->(ф0, Фо).
Перейти ко второй строке можно потому, что Т(#, ф") означает
преобразование координат и, следовательно, унитарно. Последний переход мы
имеем право сделать, так как при ф->оо угол е->0 [что нетрудно усмотреть
из формулы (1.7) и равенства
Я(0) = 1].
Проведенные рассуждения не содержат ничего принципиально нового и
используют по существу лишь два факта:
а) подгруппа группы Лоренца, оставляющая инвариантным нулевой вектор,
отлична от подгруппы той же группы, оставляющей инвариантным времени-
подобный вектор;
б) если последнюю подгруппу "сжать" до подгруппы, оставляющей
инвариантным нулевой вектор, то ее представления разлагаются на
одномерные [18].
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
До того как Ли и Янг выдвинули свою гипотезу (см. [19], а также [20]),
было широко распространено мнение, что, помимо операций симметрии,
образующих собственную группу Пуанкаре, существуют еще три независимые
операции симметрии. Собственная группа Пуанкаре состоит из всех
