Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
точностью до численного множителя минимум выра-
5. Релятивистская инвариантность и квантовые явления
85
жения (3.1а) равен
(r)2 (тг . И.)'1* _ fi2c /3 о\
\ с2) ~ ?3/! (Е + тс2)'1* '
- (т +
где Е - кинетическая энергия (полная энергия минус энергия покоя) частиц.
Кинетическая энергия Е позволяет сузить в направлениях, ортогональных
средней относительной скорости частиц, размеры той части пространства-
времени, в которой волновые функции сталкивающихся частиц существенно
отличны от нуля, до величины
Ь2С2
Е (Е + 2шс2)
Следовательно, объем четырехмерного пространства, в пределах которого
может произойти столкновение, с точностью до численного множителя равен
Умни = У/ %-• (3.3)
Е12 (Е + тс2) п
Здесь Е означает среднюю кинетическую энергию частиц в системе координат,
относительно которой их центр масс в среднем находится в состоянии покоя.
Соотношение (3.3) верно с точностью до численного множителя порядка
единицы, зависящего от Е/тс2.
Рассмотрим теперь другой предельный случай, в каком-то смысле
противоположный предыдущему: столкновение частицы с отличной от нуля
массой покоя и частицы с нулевой массой покоя. Столкновение по-прежнему
будем рассматривать в системе координат, в которой средний суммарный
импульс частиц равен нулю. Волновую функцию частицы с отличной от нуля
массой покоя желательно ограничить областью I, которая уже эффективной
области определения волновой функции частицы с нулевой массой покоя.
Пусть ширина последней области равна К (фиг. 6,6). Тогда неопределенности
в значениях импульса и энергии частицы будут не меньше Ь/К и Ьс/К, причем
эти же величины будут определять с точностью до численного множителя
средние значения импульса и энергии частицы. Таким образом, р ~ h/К.
Кинетическая энергия частицы с отличной от нуля массой покоя по порядку
величины будет равна
~ jт2с4 + (р + у)2 с2]/з + у [mV + [р - у)2 с2 jk - тс2, (3.4)
так как Ь/l - неопределенность в значении импульса. Поскольку I -< К,
величиной р в (3.4) при оценке порядка величины можно пренебречь. Отсюда
для полной кинетической энергии получаем
С I / 2 4 I (r)2<;2 У1* 2 /о г\
Е " у- + [т с4 + -jjj-J - тс2, (3.5)
86
I. Симметрия и другие физические проблемы
а площадь заштрихованной части пространства-времени на фиг. 6, б по
порядку величины равна
где До - неопределенность в значении скорости второй частицы:
При данном Е минимальное значение а достигается в том случае, если
кинетические энергии обеих частиц имеют один и тот же порядок: оба члена
в (3.6) становятся тогда почти равными, и
Если минимальное значение а требуется оценить лишь по порядку величины,
то достаточно воспользоваться формулой (3.2), уже известной из
рассмотрения первого предельного случая. Формула (3.3) также пригодна,
если одна из двух частиц имеет нулевую массу покоя.
Двумерный случай особенно упрощается, если обе частицы обладают нулевыми
массами покоя. В этом случае волновые пакеты вообще не распространяются,
и непосредственно видно, что формула (3.2) верна. В четырехмерном случае
формула
(3.3) также верна, но ее доказательство с помощью явно построенных
волновых пакетов (без ссылок на соотношение неопределенности) отнюдь не
просто. Волновые пакеты требуется построить так, чтобы они были
ограничены по всем направлениям, распространялись не слишком быстро и
перемещались лишь в сторону одного из двух полупространств (поскольку
одна частица движется вправо, а другая - влево). Мы не будем подробно
останавливаться здесь на построении таких волновых пакетов. Они
необходимы для более строгого доказательства соотношений (3.2) и (3.3) и
в случае конечных масс. Приведенные выше доказательства, опиравшиеся на
соотношения неопределенности, показывают лишь, что величины а и у не
могут быть меньше правых частей соответствующих равенств. В самом деле,
реализовать пределы, определяемые соотношениями (3.2) и (3.3),
чрезвычайно трудно. Исключением служит лишь двумерный случай и соударение
двух частиц с нулевыми массами покоя. Во всех остальных случаях
предсказание
(3.6)
p + hfl____________р-ЪЦ
р - ли
(3.6а)
рл2 + (р + W/с2]1/г [пг3 + (р- ЛПЕ/с2],/! ' Это выражение можно снова
заменить на
5. Релятивистская инвариантность и квантовые явления
87
о сравнительно низких значениях амин и УМин сделано в предположении, что
волновые пакеты сталкивающихся частиц достигают минимальных размеров в
момент соударения. Независимо от того, о каком именно случае идет речь,
формулы (3.2) и
(3.3) показывают, что точная локализация в пространстве-времени возможна
лишь при соударениях со сравнительно высокой энергией столкновения и
большой неопределенностью по энергии.
ПРИЛОЖЕНИЕ 4'
Обозначим компоненты вектора, направленного из события 1 в событие 2,
через хи а компоненты единичного вектора с началом в событии 1,
направленного вдоль мировой линии первых часов, через е,-. Тогда
компоненты первого светового сигнала
будут иметь вид хг- + teit а компоненты второго светового
