Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
приблизительно в п раз больше энергии первого возбужденного состояния.
Это эквивалентно соотношению неопределенности с интервалом М, равным
требуемой точности t. Вообще говоря, часы вполне допустимо рассматривать
как очень мягкий осциллятор с крайне медленно движущейся частицей и
весьма большой амплитудой. Стрелка часов соответствует положению
осциллирующей частицы.
Часы, о которых мы только что рассказали, все еще остаются чрезвычайно
легкими, но тут, однако, наступает момент, когда мы должны учесть
требование об ограниченности их линейных размеров. Поскольку эту проблему
не имеет смысла рассматривать во всей общности, можно предположить, что
характерный линейный размер соответствует требуемой точности измерения
времени. Требование I ~ ct увеличивает массу часов в п3 раз, и этот
коэффициент может быть очень боль-
74
I. Симметрия и другие физические проблемы
Например, часы с суточным заводом и точностью 10~8 сек должны весить
почти 1 г (по причинам, проистекающим из соотношений неопределенности и
тому подобных соображений).
До сих пор мы обращали внимание лишь на физические размеры, часов и
требовали, чтобы с помощью часов можно было различать события, расстояние
между которыми по временной шкале не меньше t. Если же мы хотим
использовать часы в качестве составной части описанной выше системы
отсчета, то необходимо иметь возможность считывать показания их
циферблата и пускать их. Как часть системы отсчета, назначение которой
заключается в метризации пространства-времени, часы должны либо
регистрировать показания циферблата в момент прихода светового импульса,
либо передавать эти показания в часть пространства, лежащую вне
метризуемой области. Это обстоятельство было отмечено еще Шредингером
[15]. Однако мы обнаружили, что в наиболее интересном случае - при/ = <^,
когда ошибки в определении пространственных координат и времени одного
порядка, - требования, предъявляемые к часам как к регистрирующему
прибору, приводят лишь к появлению несущественного числового множителя,
но не меняют вида выражения для минимальной массы часов.
Таким образом, устройство, позволяющее метризовать пространство-время,
могло бы состоять из часов, развешанных в пространстве и находящихся в
состоянии большего или меньшего покоя относительно друг друга. Все часы
могут испускать и принимать световые сигналы, а также передавать свои
показания в момент получения светового сигнала во внешнее пространство.
Такие часы во многом напоминают осцилляторы, правда в нерелятивистской
области. Действительно, скорость осциллирующей частицы в п раз меньше
скорости света, где п - отношение ошибки измерения времени к
продолжительности всего подлежащего измерению интервала времени.
Последняя величина есть расстояние между событиями, измеренное вдоль
временной оси, или деленное на скорость света обычное (пространственное)
расстояние между часами. Мировые линии часов образуют тот густой лес
линий, о котором мы говорили вначале. Его "ветви" сплошь покрывают ту
область пространства-времени, которую мы хотим метризовать.
Мы отнюдь Het убеждены в том, что наши часы наилучшие из возможных. Нас
интересовали лишь одномерные пространственно-подобные интервалы.
Вследствие этого осциллятор должен был быть одномерным осциллятором.
Вполне возможно, что при переходе в трехмерное пространство ограничение
размеров часов не приводит к столь заметному увеличению необходимой массы
часов.
5. Релятивистская инвариантность и квантовые явления
75
Тензор кривизны можно получить, как обычно, из метрики, если последняя
измерена достаточно точно. Однако нам кажется вполне интересным дать
описание более прямого метода измерения кривизны пространства. Он основан
на использовании устройства, изображенного на фиг. 5 и аналогичного тому,
которым мы пользовались при получении метрики. Основную роль играют часы
и зеркало, находящиеся на таком расстоянии друг от друга, что кривизну
пространства в пределах лежащей между ними области можно считать
постоянной. Нам
Фиг. 5. Непосредственное измерение кривизны с помощью часов и зеркала.
Рассматривается только одно пространственно подобное измерение. Кривизна
в пределах изображенной на фигуре области пространства-времени
предполагается постоянной (объяснение см. в приложении 5).
не нужно, чтобы часы непременно находились в состоянии покоя относительно
других часов, так как проверка такого требования сопряжена с
необходимостью производить дополнительные измерения. Если пространство
плоское, то мировые линии часов имеют вид прямых. Чтобы измерить
кривизну, испускают световой сигнал, который отражается в зеркале. Время
возвращения сигнала t\ мы засекаем по часам, после чего сигнал вновь
отправляется к зеркалу. Время, которое требуется световому сигналу, чтобы
второй раз вернуться к часам, обозначим через t2, а продолжительность
третьего путешествия по маршруту часы - зеркало - часы - через /3. Тогда,
как показано в приложении 5, радиус кривизны а и соответствующая
