Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
сигнала х* - Ге*. Следовательно (см. фиг. 4),
glk (xt + tet) {xk + tek) = 0, (4.1)
gi4xt-t,ei){xk-t'ek) = 0. (4.2)
Умножая (4.1) на t', a (4.2) на t и складывая, мы исключаем члены,
линейные по t и С, и получаем
2gikXiXk + 2tt'gikeiek = 0. (4.3)
Поскольку е - единичный вектор, справедливо соотношение
gikeiek= 1,
и из формулы (4.3) видно, что длина пространственно-подобного интервала
между точками 1 и 2 равна
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
Поскольку описанный в работе метод измерения кривизны предполагает
постоянную кривизну во всех областях пространства-времени, в которых
производится измерение, мы при проведении выкладок будем использовать
пространство постоянной кривизны, точнее часть пространства с постоянной
кривизной. Рассматривать мы будем лишь одну пространственно-подобную ось,
т. е. двумерное пространство де Ситтера. Последнее, как обычно [31],
можно погрузить в трехмерное пространство с координатами х, у, х. Точки
пространства де Ситтера при этом образуют гиперболоид
х2 + у2 - х2 = а2, (5.1)
где а - "радиус Вселенной". В качестве координат точки мы будем
использовать х и у или соответствующие полярные
88
/. Симметрия и другие физические проблемы
координаты г и ф. Метрическая форма в полярных координатах имеет вид
Сds)2 = Г2~д2 dr2 - (5.2)
Каждой паре значений г, ф (за исключением г - а) соответствуют две точки
пространства де Ситтера с положительным и отрицательным
Т = (г2 - а2)ч\
Это не приводит ни к каким недоразумениям, поскольку все события
происходят при положительных т. Нулевые линии (траектории световых
сигналов) касаются окружности г = а.
Фиг. 7. Анализ эксперимента, изображенного на фиг. 5.
Показан вид, который имеет гиперболоид де Ситтера, если на него смотреть
вдоль оси. Каждая точка вне окружности отвечает двум точкам мира де
Ситтера с одинаковыми пространственными координатами и равными по
величине, но противоположными по знаку временными координатами. Первой
световой сигиал, испущенный в точке /, достигает зеркала в точке 1' и
возвращается к часам в точке 2. Второй и третий световые сигналы проходят
пути 22'S и 33'4.
Описанный в тексте эксперимент удобно анализировать с помощью фиг. 7.
Предположим для простоты, что часы и зеркало "покоятся", т. е. их мировые
линии имеют постоянные полярные углы, равные соответственно 0 и б. Первый
световой луч проходит путь из 1 в /' и из /' в 2, второй - из 2 в 2' и из
2' в 3 и третий - из 3 в 3' и из 3' в 4, Полярный-угол радиуса-вектора,
перпендикулярного первой части 22' мировой линии второго светового луча,
обозначим через фг. Из фиг. 7 видно, что угол ф?,-который мировая линия
зеркала образует с радиусом-вектором, перпендикулярным второй части 2'3
мировой линии второго светового сигнала, равен
ф' = Ф2 + 6.
(5.3)
5. Релятивистская инвариантность и квантовые явления
89
Углы фр ф', ф3 и ф' имеют аналогичный смысл. Мы не указали их на фиг. 7,
чтобы не загромождать ее. Рассуждая так
же, как при выводе (5.3), получаем
Ф3 = Ф2 + б = ф2 + 26, (5.3а)
Ф1 = Ф2 -26, (5.36)
Ф4 = Фз + 26 = ф2 + 46. (5.3в)
Пусть г j, г2, г3, г4 - радиусы-векторы (в полярных координатах) точек /,
2, 3, 4\
rt = -- . (5.4)
' cos фг ' '
Собственное время t, регистрируемое часами, можно получить, интегрируя
метрическую форму (5.2) по мировой линии часов
Ф = 0:
t = a In [г + (г2 - а2)Чг\. (5.5)
Тогда время t2 нахождения в пути второго сигнала будет определяться
формулой
12-аЫ-1 + ^-а2" (5.6)
г2 + (г2 - а ) h cos фз (1 + sin ф2)
Аналогичные выражения получаются и для первого и третьего
сигналов. Все полярные углы ф можно выразить через ф2 и
6.
Это позволяет вычислить углы фг При малых б находим
б -2t2 + t3 11
t\ а
(5.7)
Следовательно, инвариант Римана R = 2/а2 пропорционален квадрату
выражения (5.7). В частности, R обращается в нуль, если выражение (2)
равно нулю.
ЛИТЕРАТУРА
1. Jauch J. М., Rohrlich F., The Theory of Protons and Electrons,
Addison-Wesley Publishing Co., Cambridge, 1955.
2. Bass L., Schrodinger E., Proc. Roy. Soc. (London), A232, 1 (1955).
3. Wigner E., Ann. Math., 40, 149 (1939).
4. Jubilee of Relativity Theory, Mercier A. and Kervair М.,
eds., Birkhauser
Verlag, Basel, 1956.
5. Lee T. ?)., Yang C. N., Oehme R., Phys. Rev., 106, 340 (1957).
6. Salam A., Nuovo Cim., 5, 229 (1957).
7. Ландау JI., Nucl. Phys., 3, 127 (1957).
8. Wick G. C., Wightman A. S., Wigner E., Phys. Rev., 88, 101 (1952).
(Статья 24 данной книги.)
9. Laporte О., Zs. Phys., 23, 135 (1924).
9Э
/. Симметрия и другие физические проблемы
10. Wigner Е., Gruppentheorie und ihre Anwendungen auf die
Quantenmechanik der Atomspektren, Friedr. Vieweg und Sohn, Braunschweig,
1931, Кар. XVIII. (Имеется перевод: Вигнер ?., Теория групп и ее
приложения к квантовомеханической теории атомных спектров, ИЛ, 1961.)
11. Zocher Н., Torok С., Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 39, 681 (1953).
12. Wu С. S., Ambler ?., Hayward R. W., Hoppes D. ?)., Hudson R. P.,
Phys. Rev., 105, 1413(L) (1957).
13. Garwin R. ?., Lederman L. М., Weinreich М., Phys. Rev., 105, 1415(L)
