Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
микроскопической системы не только не наблюдаемы, но даже (насколько
можно судить) не имеют смысла. Таким образом, в наших экспериментах
существует граница между областью, внутри которой мы свободно пользуемся
квантовыми понятиями, не боясь, что это приведет нас к противоречию с
основным тезисом общей теории относительности, и гораздо более обширной
областью, в которой используемые нами понятия также не противоречат
основному тезису общей теории относительности, но не поддаются описанию
средствами
78
I. Симметрия и другие физические проблемы
квантовой теории. Со строго логической точки зрения именно такое
разделение вызывает наибольшую неудовлетворенность.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
В этом приложении мы хотим сравнить различные состояния одной и той же
физической системы. Все эти состояния возникают при рассмотрении одного
(стандартного) состояния из разных систем координат. Всякая лоренцева
система отсчета определяет некоторое состояние, а именно образ
стандартного состояния при переходе к этой системе отсчета. Чтобы задать
стандартное состояние, мы выбираем произвольную, но фиксированную
лоренцеву систему отсчета и уславливаемся, что в этой системе отсчета
стандартным будет считаться состояние покоящейся частицы со спином (если
таковой имеется), направленным по оси г. Если мы хотим иметь частицу,
движущуюся со скоростью v вдоль оси z, со спином, направленным также
вдоль оси г, то должны смотреть на частицу, находящуюся в стандартном
состоянии, из системы координат, движущейся со скоростью v в направлении
-г. Если мы хотим получить покоящуюся частицу со спином, лежащим в
плоскости yz и составляющим угол а с осью у, то стандартное состояние
надлежит рассматривать из системы координат с осями у и z, повернутыми на
угол а относительно осей у и z той системы координат, в которой было
определено стандартное состояние. Если же мы хотим получить состояние, в
котором и скорость и спин имеют то же направление, что и спин в
предыдущем случае (т. е. направление в плоскости yz, образующее угол а с
осью у и угол я/2 - а с осью z), то на стандартное состояние следует
смотреть из системы координат, в которой спин стандартного состояния
кажется имеющим указанное направление, а сама система координат движется
при этом в противоположном направлении.
Два состояния тождественны только тогда, когда определяющие их лоренцевы
системы отсчета совпадают. При таком определении получающиеся соотношения
справедливы независимо от таких свойств частицы, как спин или масса (при
условии, что масса отлична от нуля, т. е. что стандартное состояние
существует). Два состояния "почти тождественны", если определяющие их
лоренцевы системы отсчета переходят друг в друга при весьма малом
преобразовании Лоренца, т. е. при преобразовании Лоренца, близком к
тождественному. Все состояния частицы, которые можно сравнивать указанным
способом, связаны друг с другом, поскольку их можно считать одним и тем
же стандартным состоянием, рассматриваемым из
5. Релятивистская инвариантность и квантовые явления
79
различных систем координат. Тем не менее нам придется сравнивать только
такие состояния.
Обозначим через А (0, ср) матрицу преобразования, при котором
преобразованная система координат движется со скоростью -v в направлении
оси г, причем v = cthcp:
0 0 0 ,
А(0, ф) = 0 сЬф shф . (1.1)
0 sh ф ch ф I
Поскольку ось х не будет играть роли в дальнейших рассуждениях, она не
указана в матрице (1.1), и три строки и три столбца этой матрицы
относятся к осям у', z', ct' и у, z, ct соответственно. Матрица (1.1)
описывает состояние, в котором частица движется со скоростью v в
направлении оси z, а ее спин параллелен этой оси.
Обозначим далее матрицу поворота на угол # в плоскости yz через Р,'\):
cos# sin# 0 R{&) = -sin# cos# 0 . (1.2)
0 0 1
Направление в плоскости yz, проходящее между осями у и z и образующее
угол # с осью z, мы в дальнейшем будем называть "направлением #". Система
координат, движущаяся со скоростью -v в направлении #, получается при
преобразовании
Л(#, ф) =/?(#) Л (0, ф)/?(-#). (1.3)
Чтобы получить частицу, движущуюся в направлении # и поляризованную в том
же направлении, мы сначала поворачиваем систему координат на угол #
против часовой стрелки (и получаем частицу с нужным направлением
поляризации), а затем сообщаем системе скорость -v в направлении #. Таким
образом, искомое состояние частицы определяется преобразованием
Т (#, ф) = А (#, ф) R (#) =
Из (1.3) следует
cos# зт#сЬф sin # sh ф -sin# соз#сЬф cos # sh ф 0 sh ф ch ф
Т (#, Ф) = R (#) А (0, Ф) = R (#) Т (0, ф).
(1-4)
(1.5)
Это означает, что интересующее нас состояние можно получить, рассматривая
состояние (1.1) из системы координат, повернутой на угол #. Отсюда ясно,
что утверждение "скорость и спин
80
I. Симметрия и другие физические проблемы
параллельны", как и следовало ожидать, инвариантно относительно вращений.
Если состояние, порожденное преобразованием
рассматривать из системы координат, движущейся со скоростью и в
