Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
результатов обусловлена тем, что представление d могло бы возникнуть не
только в результате связи пространства представления с с компонентой т
прямого произведения пространств представлений а и Ь, но и в результате
связи пространства представления с с другой компонентой т' того же
прямого произведения. Поэтому вектор б правильнее было бы
обозначать бт, где индекс
т указывает то промежуточное представление, которое затем
было связано с представлением с. Аналогично вектор
Su (а с т'\( т' b d \
(a V ц' (,' И (8а)
а, р, Y, И'
следовало бы обозначать Ь'т - индекс т' указывает промежуточное
представление, которое затем связывается с Ь. Взаимно однозначного
соответствия между векторами Ьт и Ь'т нет, но каждый из векторов Ь,т
можно представить в виде линейной комбинации векторов бт (и наоборот).
Для всех базисных векторов а, р, у и б коэффициенты одинаковы и равны (с
точностью до знака и множителя 1т) "6/-символам", или коэффициентам Рака
!):
хт (а b т )
т
Коэффициенты Рака играют важную роль и в ряде других физических проблем,
атомная и ядерная спектроскопия - лишь
') 6/-символы были впервые введены в работах Рака независимо от более
ранних исследований Вигнера (см., например, статью Вигнера в сборнике
[44]). Работы Рака [50-53] были посвящены решению некоторых проблем
теории атомных спектров. Они вошли в сборник [44]. Численные значения
коэффициентов Рака, или 6/-символов, см. в работе [49].
234
Дополнение
две из них. Имеются обширные таблицы коэффициентов Рака; обнаружен целый
ряд их свойств симметрии. Так, любые столбцы в 6/-символах можно
переставлять местами:
Любые два столбца можно перевернуть "вверх ногами":
Кроме того, имеется ряд соотношений ортогональности, которые, так же как
и соотношения симметрии (10) и (10а), справедливы для коэффициентов Рака
любой просто приводимой группы. Для коэффициентов Рака группы 0(3) Редже
доказал несколько дополнительных соотношений симметрии; более глубокая
причина существования их остается пока несколько загадочной:
если а, Ь, с, .. . означают представления трехмерной группы вращений 0(3)
размерности 2а + 1, 26 + 1, 2с + 1, ... . Редже [54, 55] обнаружил
аналогичные соотношения ') и между коэффициентами векторной связи группы
0(3).
Многие авторы рассматривали прямые произведения более трех представлений.
Основным мотивом их деятельности (в частности, Биденхарна, Эдмондса,
Понцано) была не разработка методов решения физических задач, а чисто
математические исследования ряда захватывающе интересных связей2).
Наиболее полным обзором работ этого направления, содержащим к тому же
существенное обобщение ранее полученных результатов, следует, по-
видимому, считать работу [60]3). Кроме того, Чакрабарти, Лёви-Нахас,
Леви-Леблон и австралийский физик, математик и философ Кумар предложили
выражения для 6, в которые представления а, Ъ и с трехмерной группы
вращений 0(3) входят симметрично [62-64]. Кумар получил аналогичные
выражения и для неприводимых компонент кроне-керовских произведений более
трех неприводимых представлений группы 0(3).
{
а b с d
е Ъ
f d
(Ю)
(10а)
{
с d т'
а Ъ т
!
Y (а + с + 6 - d) -{ct - c + b + d) т у(a + c - b + d) у(- a + c + b+d)
т'
> (И)
!) Обобщение соотношений Редже рассмотрел Шарп.
2) См. работы [56-59], а также статью Понцано и Редже в сборнике [31].
3) См. также работу Шарпа [61].
18. Принципы симметрии в старой и новой физике
235
В заключение этой части моего доклада я могу с уверенностью сказать, что
более внимательный и более тщательный анализ прямых произведений
неприводимых представлений, по крайней мере некоторых групп, и в
частности 0(3), позволил получить ряд интригующих соотношений. Может
быть, эти соотношения недостаточно общи и слишком конкретны, чтобы
прийтись по вкусу математикам, но многим из нас, физиков, исследование
этих соотношений, бесспорно, доставило удовольствие.
Я отнюдь не уверен, что исследования разложений прямых произведений
представлений групп исчерпали себя. В этой области получено много других,
не упоминавшихся в моем докладе результатов1), и ряд вопросов, на которые
я хотел бы знать ответ, все еще остается открытым. Тем не менее проблемы,
имеющие для физики особо важное значение, очевидно, уже решены, как были
решены ранее математические проблемы кристаллографии. Новое поле для
приложений идей симметрии открыто (и, надо сказать, весьма кстати) в
наиболее современной части теоретической физики - в теории элементарных
частиц.
ПРОБЛЕМЫ СИММЕТРИИ В ФИЗИКЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
Обзор проблем симметрии в физике элементарных частиц-j задача отнюдь не
легкая, поскольку мы еще не в состоянии ясно сформулировать эти проблемы.
В подтверждение высказанного я сошлюсь на существование отдельных групп
частиц (например, группы из 8 барионов), принадлежащих одному и тому же
представлению группы Пуанкаре и лишь незначительно отличающихся по массе.
Упомянутый нами октет барионов - наиболее известный пример этого рода.
