Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Этюды о симметрии" -> 108

Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Этюды о симметрии — М.: Мир, 1971. — 319 c.
Скачать (прямая ссылка): etudiosimetrii1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 102 103 104 105 106 107 < 108 > 109 110 111 112 113 114 .. 150 >> Следующая

Унитарные представления группы Пуанкаре были найдены в конце 30-х годов.
За исключением тривиального представления, все они оказались
бесконечномерными1). Физически такой результат эквивалентен утверждению о
том, что система не может быть релятивистски инвариантной, если она не
обладает бесконечным набором ортогональных состояний. Обратив внимание на
свойства унитарных представлений некомпактных групп Ли, физики
стимулировали интерес математиков к этой области. В настоящее время
математики намного обогнали физиков в изучении унитарных представлений
некомпактных групп Ли, и разобраться в результатах Гельфанда, Наймарка,
Хариш-Чандры и многих других авторов отнюдь не легко2).
РОЛЬ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Обратимся теперь к вопросу, который мы уже задавали ранее: почему
вращения и собственные преобразования Галилея или Лоренца оказывают столь
различные действия на состояния? Можно сказать, что полная группа
симметрии состоит из элементов трех типов: сдвигов, поворотов и
собственных преобразований Галилея или Лоренца. Рассмотрев минимальные
подпространства, инвариантные относительно сдвигов, т. е. подпространства
в пространстве представления, образующие базис неприводимого
представления подгруппы сдеигов, мы обнаружим, что одно из таких
подпространств остается инвариантным при вращениях. У физика подобный
результат не вызывает удивления: подпространство, о котором идет речь,
содержит векторы состояния, соответствующие покоящейся системе.
Действительно, перебрав неприводимые представления полной группы
симметрии, мы убедимся, что вращения индуцируют в интересующем нас
подпространстве некое неприводимое представление группы вращений. С
другой стороны, собственное преобразование Галилея или Лоренца переводит
каждое минимальное подпространство, инвариантное относительно сдвигов,
') Впервые это было показано автором [19].
2) Гельфанд, Наймарк и их сотрудники опубликовали чрезвычайно много
работ. С моей точки зрения, наибольшего внимания заслуживает книга
Гельфанда и др. [20], работы Наймарка [21] и Гельфанда и Наймарка [22].
См. также статьи этих авторов, опубликованные в "Успехах матем. наук" и
"Трудах Моск. матем. общества".
Статей Хариш-Чандры так много, что их трудно полностью перечислить.
Книги, в которой бы излагались его результаты, до сих пор нет. См. ранние
статьи Хариш-Чандры [23]. Среди его последних работ мне хотелось бы
отметить статьи [24, 25].
22б
Дополнение
в подпространство той же размерности, ортогональное исходному
подпространству состояний. Таким образом-, переход от состояний с одной
скоростью к состояниям с другой скоростью оказывает на минимальные
подпространства, инвариантные относительно сдвигов, такое же действие,
как и любое другое преобразование в классической теории, а именно:
создает совершенно новое состояние. Поэтому преобразования, переводящие
состояния с одной скоростью в состояния с другой скоростью, в каком-то
смысле тривиальны. Преобразования же, соответствующие вращениям, в высшей
степени нетривиальны: в рассматриваемом нами подпространстве они
порождают неприводимое представление группы вращений. Отсюда следует, что
неприводимые представления полной группы симметрии характеризуются тем,
как ведет себя под действием сдвигов и вращений некоторое выделенное
минимальное подпространство. Мы подробно остановились на этом вопросе,
чтобы объяснить, почему физики питают столь большой интерес к группе
вращений в трехмерном пространстве. Интерес этот вполне понятен: в основе
его лежит общий принцип инвариантности Пуанкаре или Галилея.
Рассмотрим теперь неприводимое представление группы вращений или какой-
либо другой группы. Если мы захотим "пощупать его своими руками", то
сделать это лучше всего с помощью какой-нибудь системы координат в
пространстве представления. Естественнее всего определить
последовательность подгрупп G, Gn-1, Gn-2, ..., Gj, обладающую следующим
свойством: каждый член последовательности является максимальной
подгруппой в предыдущем члене, a Gi состоит лишь из единичного элемента.
Введем некоторые предположения. Будем считать, что преобразования группы
G, служащие одновременно элементами подгруппы G"_i и образующие
представление этой подгруппы, содержат неприводимые представления
подгруппы Gn-1 с кратностью, не превышающей Е Кроме того, предположим,
что аналогичное утверждение справедливо для ограничения любого
неприводимого представления каждой из групп Gfc на подгруппу Gh-ь Тогда в
пространстве представления группы G можно однозначно задать направление,
указав неприводимые представления групп G2, G3, . .., G"_ 1, в
пространстве представлений которых это направление содержится. Тем самым
мы получаем возможность построить единичный вектор в указанном
направлении. Совокупность таких единичных векторов образует базис в
пространстве представлений: единичные векторы попарно ортогональны и
образуют в исходном пространстве неприводимого представления группы G
Предыдущая << 1 .. 102 103 104 105 106 107 < 108 > 109 110 111 112 113 114 .. 150 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed