Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Этюды о симметрии" -> 111

Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Этюды о симметрии — М.: Мир, 1971. — 319 c.
Скачать (прямая ссылка): etudiosimetrii1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 150 >> Следующая

неприводимого представления D(c>. Если неприводимое представление D(°)
входит в Z)(a) X DW с кратностью (abc), то унитарное преобразование в
(abc)-мерном пространстве останется свободным, и, для того чтобы задать
его полностью, нам понадобится вводить какие-то дополнительные условия на
базисные векторы пространства произведения. Над этой проблемой много
размышлял Биденхарн1). Он построил базис для случая п-мерной унитарной
группы.
При рассмотрении наиболее интересной для физика группы- группы вращений
0(3) -указанная выше трудность не возникает: все кратности (abc)
принимают в рассматриваемом случае значения 0 или 1. Группы, обладающие
тем свойством, что их символы (abc) могут принимать только значения 0 или
1, называются просто приводимыми. Их рассмотрению уделили много внимания
Макки и Вигнер 2).
Если составная система содержит более двух подсистем, т. е. если интерес
представляет кронекеровское произведение более двух представлений, то
одно и то же неприводимое представление даже в случае просто приводимых
групп может входить в разложение с кратностью, большей 1. Для
однозначного определения искомого представления в этом случае, очевидно,
необходимо действовать по индукции шаг за шагом так, как мы вычисляли
кратность (abc . . . v).
Рассмотрим сначала разложение кронекеровского произведения двух
неприводимых представлений а и b просто приводимой группы. Базисные
векторы в пространстве представления а обозначим через ai, аг, .. . ;
число их определяется размерностью 1а представления а. Пусть a - любой из
векторов базиса ai, аг, . ... ; суммирование по а означает суммирование
по всем векторам ai, аг, . . . . Аналогично следует понимать и
суммирование по р, где |3 - любой из 1ь базисных векторов рь Рг, • • •
представления Ь. Чтобы выразить один из базисные векторов у представления
с, входящего в кронекеровское
*) См. статьи Биденхарна, [37, 38], а также его обзор в сборнике [31]
(стр. 173) и работы Мошинского [39-41] (см. также работу [42]).
2) Результаты Вигнера содержатся в статье [43]. Эта статья и ее более
подробный вариант опубликованы также в сборнике [44]. В этот же сборник
включено несколько ранее изданных статей, сыгравших важную роль в
формировании взглядов физиков на теорию представлений групп, в частности
статьи Рака. Результаты Макки опубликованы в работах [45, 46], а также в
его книге [47].
232
Дополнение
произведение представлений а и Ь, через базисные векторы (а, Р)
произведения пространств представлений а и Ь, необходимо выразить у в
виде суммы
Все три представления а, b и с входят в коэффициенты cYCtp симметрично
[аналогично тому, как они входят в (аЪс)}. Коэффициенты суар можно
записать в виде
где /с - размерность представления с, а второй множитель в правой части
называется (по пока не существенным для нас причинам) З/'-символом. Если
не считать возможного изменения знака, З/'-символ инвариантен
относительно перестановки столбцов. Эти З/'-символы или эквивалентные им
выражения называются коэффициентами Клебша - Гордана (хотя я никогда не
мог понять почему) или коэффициентами векторной связи. Второе название,
на мой взгляд, предпочтительнее. Они были подробно вычислены для группы
0(3), и имеющиеся таблицы 3/-символов по своему объему соперничают с
таблицами логарифмов ').
Если нам нужно связать воедино три подсистемы, то мы можем сначала
связать две из них, а затем присоединить к ним третью. Во многих случаях
такой подход имеет физический смысл, потому что связь между первыми двумя
подсистемами может оказаться сильнее связи между любой из них и третьей
подсистемой. Пусть а, Ь, с - три представления, кронекеровское
произведение которых требуется найти. Связывая а и Ь, получаем разложение
базисного вектора р представления т в прямом произведении пространств
представлений а и Ь:
Затем мы образуем кронекеровское произведение представления т и
оставшегося представления с. Базисный вектор 6 представления d будет
содержать вектор (р, y) с коэффициентом
') Насколько известно, впервые 3/-символы были вычислены в книге [48],
гл. XVII. Более симметричное выражение для 3/-символов приведено в статье
из сборника [44], стр. 89-133. Численные значения 3/-символов можно найти
в работе [49].
Y = 2 суац (а, р).
а, р н
(6)
(6а)
18. Принципы симметрии в старой и новой физике
233
в силу чего
XI " /a b т\ [ т с d\
б- S WJ'Ha Р X v ХМ)' <8>
Ц, а, р, у '
Продолжая этот процесс, мы будем связывать все большее и большее число
подсистем, т. е. получать базисные векторы неприводимых компонент прямого
произведения пространств нескольких неприводимых представлений.
Следует заметить, однако, что полученный выше вектор 6 может не совпасть
с вектором, который получился бы в том случае, если бы мы сначала
разложили кронекеровское произведение представлений а и с, а затем
связали одно из неприводимых пространств в этом кронекеровском
произведении с пространством представления Ь. Причина несовпадения
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 150 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed