Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
полную систему.
Поясним сказанное на примере. В качестве G выберем симметрическую группу
S", образованную всеми перестановками
18. Принципы симметрии в старой и новой физике
227
из п символов. Пусть S"_i, Sn-2, • ••> Si - цепочка подгрупп, обладающая
указанными выше свойствами, причем Sn-k означает симметрическую группу,
перестановки которой оставляют последние k символов на месте. Тогда из
классических теорий Юнга [26, 27] и Фробениуса [28]]) следует, что
неприводимые представления подгруппы Sn-h-\ входят в ограничение любого
неприводимого представления Sn^h на подгруппу Sn-k-\ с кратностью, не
превышающей 1. Следовательно, мы можем задать вектор в пространстве
представления 3 + 2 группы S5, указав, что он принадлежит пространству
представления 3+1 группы S4, пространству представления 2+1 группы S3 и
пространству представления 2 группы S2. В случае группы вращений в
трехмерном пространстве цепочка подгрупп помимо 0(3) содержит лишь группу
0(2) [и, конечно, 0(1)]. Группа 0(2) состоит из вращений, оставляющих
инвариантной ось г, т. е. из вращений вокруг оси г. Такой выбор
"координат" приводит к обычной форме неприводимых представлений группы
0(3).
В заключение я хотел бы упомянуть о новом математическом результате,
относящемся к затронутой нами теме2). Ц имею в виду необходимое и
достаточное условие, для того чтобы подгруппа обладала рассмотренным йыше
свойством: ограничение представления всей группы на эту подгруппу не
содержало бы представлений этой подгруппы с кратностью, большей 1
(указанным свойством должны обладать все неприводимые представления
полной группы). Чтобы сформулировать приведенное выше условие, полезно
ввести понятие подкласса. Подклассом называется совокупность элементов
группы, трансформируемых друг в друга элементами подгруппы. Ясно, что
произведение двух подклассов содержит лишь полные подклассы и что обычные
классы сопряженных элементов содержат один, два или большее число
подклассов. Не столь очевидно, коммутируют ли подклассы (обычные классы
сопряженных элементов коммутируют). Если подклассы коммутируют, то
соответствующая подгруппа обладает интересующим нас свойством. В этом
состоит необходимое условие. Нетрудно видеть, что подклассы коммутируют,
если каждый из них совпадает с обратным себе. Легко показать, что
подклассы группы Sn относительно подгруппы этим свойством обладают.
Таким образом, к результату, следующему из теорий Юнга и Фробениуса,
можно йрийти и другим путем.
При решении конкретных задач выбор той или иной формы неприводимых
представлений трехмерной группы вращений
') См. также работу [29] и более "физическую" статью Коулмена в сборнике
[30].
2) См. статью автора в сборнике [31].
228
Дополнение
позволяет существенно упростить вычисления. Квадраты матричных элементов
допускают простую, хотя и с трудом поддающуюся экспериментальной проверке
интерпретацию: они указывают вероятность того, что частица с определенной
компонентой углового момента в одном направлении будет иметь некое
значение компоненты углового момента в другом направлении. Более широкую
известность получили и подтверждены обширным экспериментальным материалом
правила Хенля-Кронига, позволяющие вычислить отношение интенсивностей
переходов между подуровнями, на которые расщепляются в магнитном поле два
уровня [32-35]. В этом случае следует выбирать подгруппу 0(2)
(направление магнитного поля должно оставаться инвариантным при
вращениях).
РАЗЛОЖЕНИЕ КРОНЕКЕРОВСКОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Конкретный выбор формы неприводимых представлений во многом облегчает и
решение той задачи, к которой мы сейчас перейдем: разложение
кронекеровского произведения представлений на неприводимые представления.
Эта задача встречается чрезвычайно часто, и перечислить все ее применения
было бы трудно. Физической основой большинства приложений служит правило
получения вектора состояния составной системы, включающей в себя две
подсистемы: искомый вектор состояния определяется в гильбертовом
пространстве, которое является прямым произведением (иногда его также
называют кронеке-ровским произведением) гильбертовых пространств
подсистем, а сам вектор состояния есть не что иное, как кронекеровское
произведение векторов состояний подсистем1). Следовательно, если две
системы образуют единое целое, причем каждая из них находится в
состоянии, которому отвечает вектор базиса неприводимого представления
(не обязательно одного и того же), то вектор состояния всей системы будет
лежать в пространстве, являющемся кронекеровским произведением
пространств двух неприводимых представлений. Аналогичное утверждение
применимо и к случаю, когда составная система включает в себя три или
большее число физических подсистем. Первый вопрос, который возникает
здесь с точки зрения теории представлений, заключается в следующем: каким
образом прямое произведение пространств можно разложить на
подпространства, каждое из которых принадлежит неприводимому пред-
