Этюды о симметрии - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим очень простую систему: атом водорода с электроном, движущимся
по боровской орбите. К каким очевидным, "наивным" следствиям приводит
инвариантность уравнений движения относительно группы Галилея или
Пуанкаре? Во-первых, мы вправе утверждать, что атом водорода с успехом
может находиться в любом другом месте, а не только там, где он
действительно находится. Во-вторых, электрон может находиться в любой
точке свой орбиты. В-третьих, атом водорода может находиться в состоянии
равномерного прямолинейного движения, а не только в состоянии покоя.
Наконец, боровская орбита может лежать в любой наклонной плоскости, а не
только в горизонтальной. Все эти свойства атома водорода могут
соответствовать истине, но ни одно из них ничего не говорит о свойствах
боровской орбиты.
Проанализируем последнее утверждение. По-видимому, атом водорода
действительно мог бы находиться в любой точке про-
!) Согласно классической, т. е. нерелятивистской, теории, уравнения
движения останутся инвариантными, если три пространственные координаты (i
= 1, 2, 3) подвергнуть преобразованию Галилея з
х\ = 2 °lkxk + vit + al 2- 3) >
k=l
где величины Oik образуют ортогональную матрицу 3X3. Время t либо
остается инвариантным (t'=t), либо подвергается преобразованию сдвига
начала отсчета
f=t + во.
Вектор v указывает, какую скорость имеют две системы координат (старая и
новая) относительно друг друга; вектор а определяет, насколько начало
новой системы координат было смещено относительно начала исходной системы
координат при t = 0. В соответствующем преобразовании симметрии, принятом
в теории относительности (преобразование Пуанкаре), время обретает
большее равноправие по сравнению с пространственными координатами: вместо
времени t в теории относительности вводится переменная х0 = ct (с -
скорость света), и преобразование записывается в виде
з
х\ = 2 Likxk + ai (г' = °> *¦ 2. 3),
*=о
где L - преобразование Лоренца, т. е. какой-то элемент группы 0(1, 3).
Преобразование Пуанкаре иногда также называют неоднородным
преобразованием Лоренца.
222
Дополнение
странства и иметь любую скорость, однако его боровская орбита явно не
могла бы иметь произвольную ориентацию. Действительно, если бы это было
возможным, то атом водорода, расположенный в данной точке пространства и
находящийся в состоянии покоя, мог бы (вопреки всей нашей интуиции, всему
опыту и нулевой энтропии внутреннего движения) находиться в бесконечно
многих различных состояниях. Нелепость подобного вывода ощущалась всеми
задолго до создания квантовой механики.
Как разрешает это противоречие квантовая механика? Коль скоро состояние
движения атома водорода известно, мы вообще полностью знаем его
состояние. Отсюда следует, что атом водорода (по крайней мере, если
отвлечься от спина) сферически симметричен. Возникает вопрос: все ли
состояния атома водорода сферически симметричны? Очевидно, не все:
комбинация протон - электрон должна обладать сферически несимметричными
состояниями. Поскольку все такие состояния, так же как в классической
теории, можно подвергнуть вращениям, мы получаем бесконечно много
состояний, связанных с высоколежа-щими возбужденными состояниями атома
водорода. Однако все такие состояния представимы (и это обстоятельство
имеет решающее значение) в виде линейных суперпозиций конечного числа
состояний. Существенно здесь то, что в квантовой механике физическое
состояние - реальное состояние системы - определяется не положением и
скоростями, а вектором в гильбертовом пространстве1). Эквивалентность
всех направлений в квантовой теории, так же как и в классической,
означает существование всех состояний, получающихся из любого заданного
состояния при вращениях. Однако в отличие от классической в квантовой
теории история на этом не заканчивается: в последней все состояния,
получающиеся при вращении из какого-то одного состояния, можно
представить в виде линейных комбинаций некоторых базисных состояний, в
классической же теории линейной суперпозиции состояний не существует.
Состояния в квантовой теории - это векторы в линейном пространстве. В
классической теории такое утверждение было бы просто неверно. Мы не можем
взять сумму двух состояний классической системы, но ничто не мешает нам
сделать это для квантовых состояний. Более того, вектор состояния, равный
сумме двух других векторов состояния, в действительности не определяет
нового состояния: описываемое им состояние с вероятностью у2 является
первым и с вероятностью V2- вторым состоянием. Так обстоит дело по
крайней мере в том случае,
•) Ныне этот факт общеизвестен, однако впервые он был точно сформулирован
фон Нейманом [17].
18. Принципы симметрии в старой и новой физике
223
если ве<кторы состояния, для которых мы ищем сумму, ортогональны. Если же
они не ортогональны, то их нельзя считать совершенно различными. Отсюда,
в частности, следует, что при вычислении энтропии необходимо учитывать
