Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
тензорной, достаточно ввести tZ-члены под знак интеграла и сделать
следующие подстановк
Till) Till(9) о о л) qk \т
U -U Л, , &(abcq) - ,^";'йтЛ'(а)Л(Ь)Л(с)Л(с(), ^ 16)
^(a)i = §iii^(a)= §i)2^(a), = ^"шйа^(а)^Ь)^(с) И Т. Д,
При записи (2.112) мы использовали лишь первую и третью формулы из
(2.95). Представляет интерес получить Q(aii,2f2) из второго равенства
(2.95) и убедиться, что в результате получается формула такого же вида,
что я в (2.115).
Для вычисления ковариантных производных четвертого порядка нужно просто
повторить описанную выше процедуру. В результате для инвариантных
компонент ковариантных производных четвертого порядка от мировой функции
Q (PiPq) получим следующие формулы:
"г
?2(aibieidi) - 3k3 ^ (U2 Ц)2 S(abcd) du "1
"2
- 3?г?/(9) ^ (U2 - U)a(S(abcqd) + S(abiqc))dU +
"1
+ | k3 UiP) Uiq) U (и, - и)" S(ebPf(*> du + 0"
Ul
Ut
^(aibieidj) = - 3k3 ^ (U2- U)sS(abcd) du "1
"2 "2
- 3k3U{q) ^ (Uft - U)2(tl - U1)S(abcqd)dU + 3k3Ulq) ^ (Us - U)3 S(abdq$)
du +
Ul Ul
us
+ | k3 U(P) U(q) J (И* - и)3 (И - Ul) S(abpqed) du + 0,, (2.117)
ui
U2
Q^ibiCjds) = 3k3 5 (и, - uf S(abcd) dw +
ui
U2
+ 3k3 t/(5) (Uj - U)2 (U - Ui) (Sabcqd) 4" S(abdqc) du 4"
Ul
+ -| k3U(P)U(q) J (u2 - u)2 (u - "i) S(abpqcd) du + 0%"
ui
Достаточно выписать лишь приведенные формулы, так как все остальные
получаются из них с помощью перестановок. Вид записанных нами выражений
можно изменить посредством интегрирования по частям, однако это не дает
никаких особых преимуществ. Любопытно отметить, что, согласно общему
правилу перестановок (§ 1),
Hfajbicjda) = ^(С2^2а1ь1)- (^-118)
§ 6. Решение конечных геодезических треугольников
69
Это означает, что последнее выражение в (2.117) не должно менять своей
формы при перестановках
I-*-*2, а+-+с, b+-+d, (2.119)
что не очевидно с первого взгляда, но легко может быть установлено при
учете свойств симметрии тензора S.
§ 6. Решение конечных геодезических треугольников в пространстве-времени
с малой кривизной
Так же как при измерениях в евклидовом пространстве, основанных на
трехмерной триангуляции (т. е. на решении треугольников, построенных с
помощью прямых отрезков), при астрономических измерениях в пространстве -
времени возникает необходимость в четырехмерной триангуляции и разрешении
геодезических треугольников.
Некоторые из сторон этих треугольников могут оказаться изотропными
геодезическими. Нижеследующее рассуждение включает и эти случаи, так как
в понятие "геодезическая" входит и понятие "изотропная геодезическая".
Действительно, поскольку мы пользуемся методом мировой функции, редко
возникает необходимость рассматривать изотропные геодезические отдельно.
При рассмотрении треугольников, построенных из геодезических линий, можно
выделить два частных случая, когда без особого труда удается получить
весьма важные результаты, именно: 1) случай, когда кривизна (тензор
Римана мала); 2) слу- Patv=0>
чай, когда мал сам треугольник1). Фиг. 18. Решение геодезического
треуголь-
Остановимся на рассмотре- ника конечных размеров,
нии конечного геодезического
треугольника, предполагая, что тензор Римана мал (т. е. оставляя в силе
допущения, сделанные в предыдущих расчетах).
Рассмотрим геодезический треугольник Р0РХР2 (фиг. 18). Пусть v -
канонический параметр на Р0РХ и Р0Р2, изменяющийся вдоль сторон
треугольника между конечными значениями, одинаковыми для обеих
геодезических (о = 0 в точке Р0 и v = v в точках Рх и Р2). Пусть Qx и Qa
- текущие точки на каждой из геодезических, соответствующие одному и тому
же значению v и пусть изображенная на фиг. 18 кривая есть геодезическая.
Множество таких геодезических (включающее, разумеется, и РХР2) образует
двумерное пространство. Пусть и- канонический параметр на каждой из
изображенных на фиг. 18 пересекающихся геодезических, пробегающий
значения от и = иг на Р0РХ и от и = и2 на Р0Р2. В таком случае мы имеем
двумерное пространство xx = x%(u,v), причем все параметрические линии и -
геодезические; две из параметрических линий v также геодезические, именно
линии, для которых и = их
*) См. замечания относительно понятия малости в § 3.
70
Гл. II. Мировая функция Я
в u = Uj. Полагая, как обычно, U1 = дхх/ди, Vх = дхх/ди, имеем
Ш = б? б?/* =
б" би, ' 6и ' ' *
U1 = 0 для t" = 0, ^- = 0 для и = и1 и ы = ы2.
Мировая функция Qx и Qa зависит только от о, т. е. ?2(Q1Q2) = Q(o).
Тогда
D0Q = Qiiy<1 + fiisyi2, (2.121)
где Dv = djdv, а вторичные (численные) индексы при i соответствуют номеру
точки (Qx или Qa). Далее, в силу (2.120)
DlQ = Qii;i Vh Vh + 2Qilh Vh Vh + Qilh Vh Vh, (2.122)
Dl Q = Qiljlftl Vil + 3Qhhhyx Vh И2 +
+ 3?2ilJsft2 Vh Vi2 V*2 + QiikH V* V3'2 Vk\ (2.123)
DtQ = QilhhimiVhVhVklVmi +
+ 40.Лк1т, У<х vh Vhl Vms + 6Qililftsm2 V11 Vh Vkt Г12 +
+ И1 V3'2 Vk* V(tm)2 + Qi23-2h2m2 Vi2 Vh И2 V(tm)2. (2.124)
Представим Q (v) при помощи формулы Тейлора с остаточным членом й (v) =
й0 + v (DVQ)о + 4 о2 (DI й)0 +
V
+1 Vs (ОД0 + -i J (о - vf DlQ dv, (2.125)
