Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ 7. Решение бесконечно малых геодезических треугольников
73
членов характеризуется пятой степенью v. Производные Q в точности
совпадают с выражениями (2.121) -(2.124), причем V'1 и Vli - касательные
векторы dxl/dv на Гх, и Га соответственно.
Удобно положить
Г = о(Уй)0,
(2.138)
^(П.-
При о = 0 точки Рг и Р2 совпадают с Р0 и можно воспользоваться пределами
совпадения (2.69). Таким образом, если все величины вычислены в точке Р0,
находим1)
?2(РХР2) = Q (о) = 1 (^-щ) (Л*- р') +
+ 15{,,т^Урт + 05. (2.139)
Используя (2.2) и (2.17) и применяя те же обозначения, что и в (2.128),
имеем
V,* = 2Q (P,P1) = P?i,
щ|** = 2 Q(P0P2) = pX (2.140>
А#4 = Qi0 (Р0РХ) (Р0Р2) = Р.К'¦ ЛЛ-
Таким образом, формулу (2.139) можно записать в виде
Р^ = Р/!+Р^-2рХ-Р^+Ф + 05, (2-141)
где в силу (2.48) и (1.99)
= -1К (ЛЙ- (ЛЛ • W2)- (2-142)
Здесь К -риманова кривизна пространства -времени, связанная с
произвольным двумерным элементом бесконечно малого треугольника Р0РхР0-
Поскольку ф имеет порядок малости 04, допустимо рассматривать треугольник
так, как если бы пространство -время было плоским. Обусловленные этим
погрешности имеют порядок малости 05. Так как три изотропных линии в
плоском пространстве не могут образовать треугольник, то по крайней мере
одна из сторон PQP2P2 неизотропна. Пусть е - индикатор этой неизотропной
стороны треугольника, а е' - индикатор перпендикуляра к этой стороне,
опущенного из противоположной вершины. Тогда, как легко показать, для
любого геодезического треугольника в плоском пространстве -времени
^?i-^?2-(^?i-^?[) = 4ee'A*,] (2.143)
где А означает двумерную площадь треугольника. Таким образом,
*) В пределе совпадения для выражения (2.124) все члены, за исключением
одного,
обращаются в нуль вследствие кососимметричности тензора Римана.
Ро
(и = 0)
Фиг. 19. Решение бесконечна малого геодезического треугольника.
74
Гл. II. Мировая функция Я
для бесконечно малого геодезического треугольника справедлива следующая
формула:
рХ = ЛЛ + ЛЛ - 2Р<Л • - у Кее' А2 + 05 (2.144)
или, что равносильно,
Q(P1Pi)=Q(P0P1) + Q(P0Pi)-
- (Р0Р,) Q* (Р0Р%) - § Кгг' Д* + 05. (2.145)
Любопытно сравнить формулу (2.129) (треугольник конечных размеров,
кривизна малая) с формулой (2.141) (бесконечно малый треугольник,
конечная кривизна). Первые три члена в правых частях обеих формул
одинаковы, но на месте <р в (2.129) мы имеем ф в (2.141). Чтобы
проверить, существует ли между этими формулами соответствие, допустим,
что треугольник, соответствующий (2.129), становится малым. Это
эквивалентно требованию, чтобы в формулах (2.136) ы2->их; тогда <pt и <р2
исчезают, а <рв, как мы сразу же убеждаемся, сводится к ф [явный вид ф
задается с помощью 5-тензора формулой (2.142)].
§ 8. Квазидекартовы координаты
В плоском пространстве -времени координаты можно выбрать таким образом,
чтобы во всем пространстве-времени метрический тензор имел вид
&y = t|y = diag(l, 1, 1, -1), (2.146)
а мировая функция записывалась в виде
Q(jc'. *) =-1 (я1'-**)(/-*')¦ (2-147)
Если пространство - время мало отличается от плоского (тензор кривизны
мал), естественно допустить существование таких координат, что
Sij - Ли + Yij> (2.148)
где yi;- и его производные малы. В общей теории относительности этот
прием широко применяется. Однако существуют неясности в связи с вопросом
о классе координат, для которых такое приближение имеет смысл1). Мы
подойдем к этому вопросу другим, более определенным путем.
Пусть Р0 (фиг. 20) -произвольная точка пространства -времени, a ?t(a) -
ортонормированный 4-репер ОР в Р0. Будем называть Р0 началом, а 4-репер -
векторным базисом. Пусть Р -какая-нибудь другая точка, такая, что
существует единственная геодезическая Р0Р, а о -канонический параметр на
этой геодезической, принимающий значения о = 0 в точке Р0 и о =
о в точке Р. В таком случае существует вектор
o(dxl/do), касательный к данной геодезической в Р0. Обозначим его
контравариантные компоненты [см. (1.54)] в векторном базисе следующим
образом:
*СО)=^(^-)р/*а)- {2Л49)
!) В евклидовой геометрии кривизна сферы большого радиуса мала. Однако не
существует координатной системы, покрывающей всю сферу, для которой
формула, подобная (2.148), была бы справедлива с малыми y^v во всех
точках сферы. Для этого пришлось бы использовать огромное число
перекрывающихся систем ' координат.
§ 8. Квазидекартовы координаты
75
Вследствие (2.17) эти компоненты (как ковариантные, так и
контравариантные) можно выразить также и через производные от мировой
функции ?2 (РвР):
Х(а) = - ?2j, (РвР) ^(а)"
Х(а) = - ?2'° (Р0Р) Ма>. (2.150)
Это двухточечные инварианты относительно произвольных преобразований
координат. Назовем их квазидекартовыми координатами1) (коротко КД-
координатами) точки Р относительно начала Рв и векторного базиса Я(").
Легко убедиться, что
Х{а)Х(а) = 2?2 (Р0Р) = bL\ (2.151)
где е -индикатор Р0Р, a L -мера Р0Р. Для пары точек Рх, Ра находим2)
Х(а1)Х(аг) = ?2^ (РоР,) ?2{" (Р0Рг). (2.152)
