Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
U2
gi^Vk2= - J gi2aghbRabmnUmVndu. (2.105)
Ul
До сих пор вычисления носили строгий характер. Подставим теперь в
последний интеграл выражение для Vm из уравнения (2.89). Считая Vh2
произвольным, получаем
"2
gi2hH = -*$("- "i) gha gfrtgk,с Rabcq Uq du + 02. (2.106)
Ul
Ввиду симметрии упомянутого оператора и возможности перестановки индексов
1 и 2 последняя формула содержит все ковариантные
производные первого порядка от оператора параллельного переноса.
Итак,
мы имеем х)
U2
*Wi = *$(".-")g.iaghb kHeRabalUqdu + Oa. (2.107)
Ul
u2
= k S (" - "i> 8iia 8hb Sk2c Kabcq UQ du + 0"
ui
k~X - U% - Ut.
Если ввести в рассмотрение ОРА(а), претерпевающий параллельный перенос
вдоль геодезической РгРг, и умножить первое из уравнений (2.107) почленно
на Ajj.) А(1) А*,1), то вид уравнения упростится. Поступая аналогичным
образом со вторым уравнением (2.107), с помощью компонент
*) Переставим вначале в уравнении (2.106) индексы 1 и 2, учитывая, что
при этом меняются местами иг и иг и, следовательно, ft переходит в - ft.
Затем переставим < и / и учтем симметрию оператора параллельного переноса
и кососимметричность тензора Римана.
5 Дж. Л. Сннг
66
Гл. //. Мировая функция й
в ОР получаем
иа
^(а1ь2с1) = Ш№ S (^-u)R(abcq)du + 02, (2.108)
Ul
U2
?(albtс,) = Ш'9> J (" - "l) + О.-
"1
Теперь нетрудно в этом приближении вычислить ковариантные производные
более высокого порядка. Для вычисления ковариантных производных
четвертого порядка обратимся к фиг. 3 и продифференцируем каждое из
уравнений (2.107) по v. Поскольку в (2.107) входят члены, имеющие порядок
малости Ох, нет необходимости затрагивать операторы, стоящие под знаком
интеграла, так как производные от них дадут члены порядка малости 02. Но
мы должны выполнить дифференцирование тензора Римана и Uq. Исходными
формулами при этом будут уравнения (2.89) и (2.90). Таким образом1),
JL я"ьс<г = Rabc4dVd = Rabc9dk (ц _ ^ gdm2Vm> + 02, (2.109)
-^U^kg^V^ + O,.
Таким методом мы получаем следующие формулы, записанные с помощью
компонент параллельно переносимого ОР:
U2 "2
^eibteid!)= _ fe2 S ("2-") R(abcd) du + kzUlq) J (и2 - uf R(abcqd) du +
02, (2.1 10)
"1 "1
U2 u2
SiaiteM = k* S (" _ "l) ^(Oted) du + k2UW J (U - Ux)2/?<ebeed) du + 02.
Ul Ul
Несколько меняя обозначения, так чтобы вместо точек Ях и Я3 фигурировали
точки Р' и Р, получаем при Р'->Р следующие пределы совпадения:
[gir] = gir [girk\ = 0, fev.k.] = 0, (2.111)
[Sij'feml = 2 Rijkm' [Sij'fem'] = ~2
Последние формулы тесно связаны с параллельным переносом вектора
вдоль бесконечно малого замкнутого контура.
§ 5. Вычисление высших производных мировой функции
Для вычисления высших ковариантных производных мировой функции Q будем
исходить из первой и третьей формул (2.95):
U2
^h = gidl + Yk \ ("z-"rghagnbSabPqUPU*d"+Ov (2-112>
Ul
Ul
2) Пятый индекс у R означает ковариантную производную. Поднятие индекса
производится обычным образом.
$ 5. Вычисление высших производных
67
Мы намерены воспользоваться схемой, приведенной на фиг. 3, и выполнить
дифференцирование по v. Ввиду того, что имеет место (2.107), мы можем (в
рамках требуемой точности) не затрагивать операторы, стоящие под знаком
интеграла. Что же касается других членов, то здесь мы имеем следующий
результат: поскольку Л не зависит от Я, и ковариантные производные от g^.
обращаются в нуль, то члены, стоящие первыми в правых частях формул
(2.112), равны нулю. Далее, как и в (2.109), мы имеем
^=kgphvhi+olt
а (2.113)
fv Sabpq = Sabpq< k (и - ux) gckt Vh* + Ot,
где пятый индекс у 5 означает ковариантное дифференцирование. Выполняя
перестановку индексов и числовых индексов 1 и 2 и используя при этом
общее правило перестановок (§ 1), после непосредственных вычислений легко
получаем все производные третьего порядка от мировой функции. Таким
образом, с помощью первой формулы (2.112) получаем
U2
Й"1У1Ь" = 3*2 5 ("а - и)2 gha gjlb gk2C SabcQ Uq du +
Ul
ua
+ Yk*\ ("¦-")2("-"i)SiiagnbgktcUpUqdu + 02. (2.114)
Как эта, так и другие аналогичные формулы, лучше всего записать с помощью
компонент ОР, переносимого параллельно вдоль РХР2. Получаем следующие
значения для инвариантных компонент ковариантных производных третьего
порядка от мировой функции ?1(РХР2):
U2
П(ааь1С1) = - 3k2U(q) jj (ы2 - uf S(ebcQ) du +
Ul
+ 4 k3 U(P) U(q) 5 (ua - u)3 S(abpqc) du + Os,
Ul
"2
^(aibica) =
3k3U(q) 5 (u2-u)3Siabcq)du +
Ul
Ug
+ 4 k3 U(p) U(q) 5 ("2 - и)2 (И - ux) S(abPqC) du + 02, (2.115)
Ul
u3
^(ai62C2) = - 3k2U^ ^ (U - Uj)3 S(bcaq) du -р ui
u2
+ U(9) I (u2-u)(u-ux)3Sibcpqaydu + 02>
ui
Ug
^(oab2C2) = 3k2U ^ ^ (u - Uj)3 S(abctj) du -|-
+ 4 k3 U(p) U(q) $' (u - uxf S(abpqi) du + 0,.
ui
u*
Ul
5"
68
Гл. II. Мировая функция ?2
Заметим, что во всех этих формулах, за исключением третьей, индексы а, Ь,
с у символа 5 размещены в алфавитном порядке. В силу общего правила
перестановок (§ 1) выписанные выше формулы позволяют вычислить все
производные третьего порядка. Чтобы перейти от инвариантной формы к
