Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
В обычной геометрии замена начала координат тривиальна, эффекты же
вращения осей-наоборот, более хитроумны: при этом появляются
ортогональные матрицы, эйлеровы углы и т. д. С другой стороны, в
искривленном про- Фиг. 20. Начало Р0 и ба-чггранстве изменения векторного
базиса отно- зисный вектор А,(а) для ква-сительно тривиальны (сводятся
просто к пре- зидекартовых координат, образованию Лоренца), а замена
начала -значительно более тонкая операция. Отложив обсуждение
вопроса о замене
начала до § 9, можно следующим образом вкратце описать
процедуру
перехода от одного векторного базиса к'{а) к другому р'(а). Пусть X и Y
относятся к соответствующим КД-координатам некоторой точки Р. Тогда в
силу (1.52) получаем
Y(b) = L^Xia), К(Ь)=л(Ьс)^сЧай)Х(й), (2.153)
где
L(ai! = ?4а)Ц(Ь) (2.154)
есть лоренцова матрица, аналогичная той, которая фигурирует в формуле
(1.51).
Преимущество обычных векторных обозначений, принятых в ньютоновой физике,
состоит в том, что они позволяют абстрагироваться от осей, относительно
которых должны браться компоненты вектора. Мы
мыслим PQ как некий геометрический объект, как вещь в себе. При
соблюдении некоторых предосторожностей можно, подобным же образом,
представить себе смещение от точки Р0 к точке в пространстве - времени
как некую вещь в себе, не заботясь о векторном базисе, используемом в
(2.150). Таким образом, мы смело записываем Р0Р, как символ
4) Они известны также под названием нормальных координат, но их
значимость оправдывает и более подчеркивающее название.
г) Такое компактное обозначение не должно служить причиной недоразумений.
Величины и Х(а^ определяются формулами (2.150) при подстановке в ней
вместо Р
точек Р1 и Р2 соответственно, причем по индексу Лоренца а проводится
суммирование. Если КД-координаты точки Рг обозначить через Х(а), а точки
Р2-через У(а)> то
левая часть (2.152) будет иметь вид Х(а)У(а).
76
Гл. II. Мировая функция О
для обозначения Х(а) или Xw. Этот способ обозначений превосходно
согласуется с уже введенным в (2.128), ибо мы имеем при этом
Р> = Х<°>Х(а), р7>1 ¦ р7р2 = Х{а^Х{а%), (2.155)
что следует из (2.151) и (2.152). Эти величины, очевидно, не зависят
от векторного базиса, так как в (2.151) и (2.152) последний не
фигурирует.
Вернемся к конечному геодезическому треугольнику, обсуждению которого был
посвящен § 6, и дадим его решение с помощью КД-координат. Выбирая в
качестве начала КД-координат точку Р0 (фиг. 21), можно записать фор-
P,("=uj) мулу (2.129) в виде
р5>; = 6<0)Е(") + (р, (2.156)
где1)
1(а) = Х(аг) -Х(а1\ (2.157)
а ф определяется выражением (2.136) в обозначениях (2.135). Мы должны
теперь положить
(9=0)
Фиг. 21. Геодезический треугольник конечных размеров и квазиде-картовы
координаты.
(2.158)
Далее, как легко видеть, в данном приближении для ф мы можем представить
себе треугольник как лежащий в плоском пространстве и положить
U(q) = ^ ^ |(<г)
Изменим обозначения в (2.135),'записывая2)
{1122} = S(ab ci)X(ai)X(bl)X(c^Xidi) = {2211},
{11222} = S(abcde)X(ai)X(bl)X(c^X(d^Xie,t) = {22112},
(2.159)
(2.160)
и т. д. Тогда, полагая v/v = w, найдем, что решение конечного
геодезического треугольника в пространстве - времени малой кривизны имеет
вид
PSl = l(a%о + Ф,
Ф = Фо + 9i + Фг + ,
1 UJ
Фв = 3&* ^ (1 - wfdw ^ [(w2 - uf-\-(u - u1)2]{H22}du,
1 Ui
Фх = 2k3 J w{\-wfdw J [2 (u2 - u)3 {11221} -f 3 (ы2 - ы)2 (u - ux)
{11222}-
+ 3(ы2 - и) (и - uj2 {22111} + 2 (u - Uj)3 {22112}] du, (2.161)
*) He следует писать РуРг для Это была бы непоправимая ошибка.
*) Любой из этих символов обращается в нуль, если среди первых четырех
цифр три или четыре цифры совпадают. Это связано со свойством
кососимметричности тензора Римана.
§ 8. Квазидекартовы координаты
П
1 U2
Фа = Де3 ^ до2 (1 - wf dw ^ [(о, - и)1 {112211} +
О их
+ 4 (ы2 - и3) (и - Uj) {112212} + 3 (и, - uf (и - utf ({112222} +
{221111}) + + 4 (и, - и) (и - uj3 {221121} + (и - иД4 {221122}] du, k'1 =
ui - u1.
Существуют другие, эквивалентные формы записи этих формул. В силу
симметрии 5-тензора первые четыре индекса 1122 можно заменить на 2211.
Далее, до тех пор пока не нарушены границы точного приближения,
ковариантные производные в ф можно рассматривать как частные, и,
следовательно, можно переставить две последние цифры шестииндексного
символа. Например,
{1122} = {2211}, {11221} == {22111},
{112212} = {112221}+ 02. (2.162)
Теперь будем искать приближенное выражение метрического тензора в КД-
координатах для пространства - времени с малой кривизной. Этот результат
можно было бы получить из выражений (2.161), устремляя к так, чтобы
треугольник P0PiPa сделался очень "узким" (см. фиг. 22). ф и 22 в
Однако лучше снова вернуться к уравнению ние 'метрики через
(2.91), приведя обозначения в соответствие с фиг. 18 тензор Римана.
(переставив и и v). Если обозначить через и бесконечно малое приращение и
при переходе от Р0Рг к РгР2, то КД-коор-
динаты точек Рг и Р2 можно записать в виде Х<0) и X(a) + dX(o)
