Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
соответственно, где
Х(а) = oV^ag), dX(a) = VU V}a0). (2.163)
Применяя эти формулы к изображенным на фиг. 18 геодезическим Р0Р1, Р0Р2,
тесно примыкающим одна к другой (см. фиг. 22), с помощью
(2.91) получаем
V
У(ао) = о-Ч/(01)+v-*V(b)U^Vw \ v&-v) R(abcd) dv + 02. (2.164)
о
После умножения на uv эту формулу можно записать в виде
1
ut/(a2) = dX(a)-X(b)dX<c)X(d) ^ w(l-w)R(abcd)dw + 02, (2.165)
о
где введено обозначение w = v/v. Следовательно, метрическая форма
пространства - времени в квазидекартовых координатах имеет вид
Ф = U2[/(a2)[/ ^ = g(ab)dX^ * ДХ* \ ё(.аЬ) ~ Л(аЬ) + У(аЬ) ¦ (2.166)
1
Y("b)= - 2X(c)X(d) ^ w(l-w)R(aebd)dw + 02.
0
В частном случае, когда пространство - время характеризуется малой
постоянной кривизной К, имеем
P(acbd) = К ('П(аЬ)'П(сЛ) - ЛСшЦ'КеЬ))" (2.167)
78
Гл. II. Мировая функция ?2
и, следовательно,
YW = 7Г К (Х(а)Х(Ъ) - Л(аЬ)Х(С)Х(с)) + 02.
Т
О,
В начале КД-координат в силу (2.166) будет
д8(аЪ)
^(аЬ) = Л(аЬ).
1
dv,c)Z\d) ~ - 2 (Я<"М) + R(adbc)) \w(l-w)dw = S (aI)cd).
(2.167а>
(2.168>
dX(c)SX(d>
§ 9. Изменение начала квазидекартовых координат
Для построения квазидекартовых координат (КД) методом, предложенным в §
8, необходимо, чтобы геодезическая, связываюшая начало Рщ.
с текущей точкой Р, была единственной. Если существуют две или более
геодезических, связывающих эти точки, то все построение оказывается
безуспешным, и, следовательно, весь метод приближенного рассмотрения
геодезического отклонения в том виде, в каком мы его изложили, рушится.
Далее, если указанное выше требование выполняется, то все целиком
пространство - время можно покрыть единой системой квазидекартовых
координат (это наверняка возможно, если пространство-время плоское);
однако чтобы справиться с физическими ситуациями, возникающими в
действительности, желательно предположить, что геодезические, выходящие
из Р0, могут пересекаться х). Однако будет существовать некоторая область
D, содержащая точку Р0 такая, что выходящие из Р& геодезические в D не
пересекаются, причем в. ней можно построить КД-координаты (фиг. 23).
Чтобы продолжить эти КД-координаты, выберем в D другую точку (назовем ее
Р'и) и используем последнюю в качестве начала новых КД-коор-динат в
области D'. Таким способом можно продолжать КД-координаты как угодно
далеко. Постараемся теперь отыскать формулы для преобразований КД-
координат, соответствующих изменению начала координат. Как отмечалось
ранее, в случае плоского пространства это преобразование тривиально.
Когда же пространство искривлено, вопрос существенно усложняется.
Пусть Р0 и Р, - начала двух систем КД-координат (фиг. 24), а Ра -текущая
точка, лежащая в области, где применимы обе эти системы. Во избежание
какой-либо неоднозначности запишем вполне определенно:
КД-координаты точки Р0 относительно
Рг = *(о) (р7Ро) = - Gii (PiPo) *(?.>.
КД-координаты точки Р2 относительно
Фиг. 23. Продолжение квазидекартовых координат.
Фиг. 24. Перенос~'на-чала квазидекартовых координат из точки Р+ в точку
Рг.
д.=*(о) (W = - Gi, (Р0Р2) к°а),
(2.169)
х) Это означает, что здесь мы сталкиваемся с наличием сопряженных точек
(см. гл. II, § 3).
§ 9. Изменение начала квазидекартовых координат
79
КД-координаты точки Р2 относительно
Pi = *("> ( VM = - Gi, (PlPj Kh-
Так как процесс замены векторного базиса тривиален (он сводится просто к
преобразованию Лоренца), будем, для простоты, предполагать,
Эту величину следует подставить в соотношение (2.171), которое можно,
записать в виде равенства
определяющего закон преобразования квазидекартовых координат при переносе
начала из Р0 в Рг.
Значение этой формулы заключается в том, что мы фактически приближенно
вычислили 0(а) для пространства -времени с малой кривизной. Так, после
соответствующей замены обозначений из (2.95) получаем
где ин егрирование по каноническому параметру v, принимающему в точках Р0
и Рг значения нуль и единица соответственно, проводится вдоль P9PV Что
касается X, то, сравнивая (2.174) с (2.161), находим
где величина ср определяется сложными формулами (2.161), интерпрета-ция
которых значительно обличается при использовании фиг. 21.
что Ца) параллельны (вдоль Р#/\) У(а), так что с помощью оператора
параллельного переноса можно записать
k(a)t0 - ffv'iMa)' Тогда с помощью (2.169) получаем
(2.170)
•^(<0 (РlPft) - ^(о) (^о) ^(о) (Ро^г) - (r)(")"
(2.171)
где
(2.172)
(2.173)
и трехточечныи инвариант % соотношением
X = Q (РХР2) - Q (РоРг) - Q (Р0Р2) + Qi0 (P,Pa) Ql0 (Р0Р2), (2.174),
так что при дифференцировании по Рх
(2.175)
(2.176)
*(0) (PlP*) = *(a) (PjP0)+^(") (PoP2) + 0(a),
(2.177)
hioh = ^Xic) (fyjX(tm) (P>x) J o(l-o)5<vd) dv + 02, (2.178)
0
X -- cp + 02)
(2.179)
80
Гл. II. Мировая функция Я
§ 10. Координаты Ферми и оптические координаты
Рассмотренные в предыдущем параграфе квазидекартовы координаты зависят от
выбора начала и векторного базиса, а при рассмотрении физических проблем
выбор подходящего начала -вопрос не тривиальный. Кроме того, мы
