Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(2.260)
Остальные компоненты строятся из выписанных выше посредством перестановки
индексов 1 и 2.
Вычислим эти выражения, определяющие производные первого, второго,
третьего и четвертого порядков, с погрешностью соответственно' 04, 03,
02, 01У так как именно такая степень точности нам понадобится в следующем
параграфе. В силу определения переноса Ферми (1.84)
и, следовательно, при использовании очевидных обозначений
D2Q(ai) - ^i1)2^(a)'4J2,
D&(ai) = + 2QwAi{ 'a)Ah +
+ Qy1^/ + WA)^'1, (2-264 >
ОДА"1) = + lhkAhAhAk\
D;Q(ai) =
Пределы совпадения в точке Q0 определяются формулами:
Так как в нашем приближении члены порядка 04 можно отбросить, то нет
необходимости выписывать полностью следующие производные,
Dl}{a) = A%a)DAjy D%a) = DA%X)DA] + А'Х{а)ГРА},
(2.261)
DX\a)At= - k{a)DAj= - (Dyl)(a), DX\0,)DAi = 0,
D^UA, = - X{a)D2Aj = - (DM) (a), D^DA, = DAiDAiX{a)DA- = b2 (DA\a).
(2.262)
Разложение в двойной степенной ряд дает
^("l) = [^("i)l 4" S1 [^l^(aj)] 4" s2 [^2^(ai)] 4"
4- ~2 (si [^i^(ai)] 4- 2s1s2 [D1D2Q(ai)] 4- s2 [D2Q(ai)]} 4- . • • •
(2.263)
Теперь
[H(ai)] - [DjQ(ai)] - [D2Q(ttl)] - 0,
[DiQ(ax)]= [DjD2Q(ai)] = [D2Q(ai)] = -(DA)(a).
(2.265)
§ 13. Производные для двух точек на временноподобной кривой
93
получающиеся из формул (2.264). Часть операций, необходимых для
вычисления нужных нам пределов совпадения, можно проделать в уме; таким
образом, с помощью (2.69) и (2.262) получаем
[D"Q(ai)] = [3 QilhD\^a)Ah + ЗОщАА&ЯИ'1 + =
= - 3 (D2A)(a) + 0 + (DM)(a) = - 2 (DM)(a),
[DlD2Qiai)] = [QilhDll\hAh] = (DM)(a), (2.266)
[D&Q^] = [Q щД^*] = 0,
[D"Q(ai)] = [QhAD\Ah] = - (DM)(e).
После подстановки пределов совпадения из (2.265) и (2.266) в ряд (2.263)
получим
^(04) =---2 (S2 - sl)2{(^^)(a) + -3- (2sx + s2) (DM)(a)} +
04. (2.267)
Нужно еще вычислить производные второго, третьего и четвертого порядков в
(2.260). Вычисления проводятся по той же схеме, что и выше, однако
оказываются несколько проще, так как с возрастанием порядка производной
становится допустимой все более низкая степень точности. Читателя не
должна затруднить проверка следующих формул, в число которых для
облегчения ссылок включены и формулы (2.257) и (2.267):
(2.268)
(2.269)
(2.270)
(2.271)
^(aiP2Y2) = (S2 Sl) ^(PY"4) + ^2>
^(aiPiYifii) = ^(счРтвг) = Ц"2Р2У262) = ^(аруб) + Ох,
?2(aiPiYi62) = - 5(аруб) + Ох, (2.272)
ЦсчРгУгбг) = - ^(абРУ) + ^1-
Заметим, что в этом приближении появляются первая и вторая кривизны линии
С, третья же кривизна не фигурирует. Производные второго и более высоких
порядков в (2.270) уже зависят от кривизны пространства - времени,
зависимость от которой входит в виде симметризованного тензора Римана
[см. (2.69)]. Что касается производных от этого тензора, то они в данном
приближении не появляются.
§ 14. Мировая функция в координатах Ферми для двух точек на смежных
временноподобных кривых
На фиг. 30 изображена временноподобная мировая линия С0, которую мы
выберем в качестве базисной линии для координат Ферми (КФ). Кривые Сх и
С2 -две другие временноподобные мировые линии, смежные
^S(QiQa) = - у (s2 - si)2 -~24 1)2 (s2 ~ si)4 + .
?2(ttl) =---2 (S2 Sl)2 {PA)(a) + -g- (2s4 + S2) (DM)(a)| -j- 04,
Ца2) =------2"(s2 -sl)2 |ф^)(а)+y (sx + 2s2) (DM)(a)|-j-04,
^2("iPi) = Ца2р2) = бар + у (S2 - S4)2 S(ap44) + 03,
^2("iP2)= - ^ap -y(s2 -S1)2{(D^(a) (ПЛ)(Р) +S(a44p)} + 03, ^2("iPiYi) =
(S2 ' Sl) *^(ару4) 4" ^2>
^2(aiPiY2) = ^2("2p2Y2) = (S2 sl) *^(аРу4) + 02,
94
Гл. II. Мировая функция Q
с С", а Р1 и Р2-точки на этих линиях. Пусть s - мера на С0 такая, что-s =
0 в точке Q0. Выполняя надлежащие построения для КФ, мы проводим
геодезические PXQX и P2Q2 ортогонально к С0. Пусть s = s1 в точке Qr и s
= s2 в точке Q2. Тогда sx и s2 будут четвертыми координатами Ферми (X(i))
точек Рг и Р2 соответственно.
Пусть Ег, Е2 - точки на Сг, С2 соответствующие s =
; 0. Будем считать,
что совокупность трех линий, С0, Сх С2, определяется тремя точками,
Q0, Elt Е2, и данными Коши1) в этих точках. На-сг & ша задача состоит в
том, чтобы выразить Q (PiP2) через координаты Ферми точек Рх и Р2 и
данные Коши. Пусть А,(а) - 3-репер, образованный векторами Фермй на
кривой С0. Положим Q1P1 = alr Q2P2 = o2 и пусть р,*1 и рЛз - единичные
векторы, касательные к этим линиям в точках Qx и Q2. Тогда для КФ точек
Рг и Р2 справедливы следующие формулы:
Р, : X(ai) = Х(в1) = = - Х{Ю = slt
Р2: Х("2) = Хш = e#i2A(a), *<*> = - Xw = s2.
(2.273)
Если закрепить геодезические QXPX и Q2P2, но менять и а2 так, чтсбы точки
Р1 и Р2 скользи-
другую сторону, то и а2, и мы можем
is=s,) Q,
(s=s,i Q,
Со
1 5--' Ъ
ГЛ
\ Рч
Е, \
Фиг. 30. Мировая функ ция Q (Р1Р2) в коорди натах Ферми.
ли вдоль кривых в ту или Q(PiP2) будет функцией аг разложить ее в двойной
степенной ряд вида
+ "24" ^4 + Og.
(2.274)
Здесь Оъ означает остаточный член пятого порядка относительно а1г о2, s1;
и s2, если считать, что порядок каждой из этих величин есть Ог. Что
касается L-членов, то они имеют вид
