Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
фотоны в такой же мере искусственны.
Позднее мы будем иметь дело с движением конечных количеств материи и
электромагнитных волн, и можно было бы ждать, что в этом случае трудность
перехода от МН к ФН будет преодолена с помощью предельного перехода, при
котором тело конечных размеров сжимается в точку, и то же самое
происходит с плотностью электромагнитного поля. Такого рода соображения,
действительно, проливают свет на трудность сложившегося положения; однако
они не разрешают этих трудностей.
Наилучшим вариантом сейчас будет просто сказать, что мы занимаемся
построением логически последовательной математической схемы (МН),
наклеивая при этом некоторые физические ярлыки (с адресами
соответствующих ФН), и практичный физик должен прибегнуть к суду
собственного опыта при истолковании надписей на этих ярлыках. Такого рода
процедура стала обычной фактически во всех областях теоретической физики.
§ 4. Пространственная мера, ортогональность и скалярные произведения1)
Две соседние точки определяют бесконечно малый вектор в пространстве -
времени. Если этот фактор временноподобен, его мера (величина) имеет
простой физический, или хронометрический смысл: это время, измеренное
часами, движущимися вместе с частицей, траектория которой содержит обе
эти точки. Если же вектор пространственноподобен, то эта интерпретация
становит-В ся неверной, поскольку такие две точки не могут лежать на
траектории одних и тех же часов. Тем не менее, как мы сейчас покажем,
бесконечно малые пространственноподобные векторы можно измерять
хронометрически.
На фиг. 33 изображен бесконечно малый пространственноподобный вектор АВ.
Проведем через точку А временкоподобную кривую, и пусть С и D - точки,
в которых эта кривая пересекает изотропный конус с вершиной в
точке В. Это - физическое построе-
ние, поскольку можно потребовать, чтобы ломаная CAD представляла
траекторию частицы, а изотропные линии СВ и BD - траектории фотонов.
Работая в бесконечно Фиг. 33. Про- малой области и используя для
бесконечно малых век-
странственная ме- ТОрОВ обычные обозначения, имеем
ра или длина АВ, v ...
определенная хро- BDl = AD1 - АВ1, СВ1 =CAi + АВ1. (3.12)
нометрически (заметьте, что линия Учитывая изотропный,
пространственноподобный и вре-
АВ стрелки не менноподобный характер входящих сюда векторов,
поимеет.,). лучаем
BDfiD1^ 0, СВ?В1 = 0, = - AD(r),
СА?А1 = -СА\ АВ^В^АВ*, (ЗЛЗ)
где AD, С А, АВ -- римановы меры при условии, что AD и С А - времена,
х) Кривизна пространства - времени здесь не играет никакой роли, поэтому
полученные выводы будут общими и для специальной, и для общей теории
относительности; см. книгу Синга 11190], гл. III которой может, в
частности, принести значительную пользу читателю, которому
пространственно-временные схемы кажутся трудными для понимания.
§ 4. Простр, мера, ортогональность и скалярные произведения
105
измеренные с помощью часов, движущихся по CAD. В данной бесконечно малой
области имеет также место соотношение
CA' = QAD\ С А = QAD, (3.14)
где 0 - положительный скаляр. Из (3.12) и (3.13) получаем
_ AD2 - 2ADiABi + АВ* = 0,
-САг + 2СА{АВ1 + АВ* = 0. ^ЗЛ5^
Исключая с помощью (3.14) средние члены, в левой части (3.15) получаем
формулу
AB2 = QAD* = CA-AD, (3.16)
которая выражает пространственноподобную меру А В через хронометрические
меры СА, AD. Назовем эту меру длиной бесконечно малого
пространственноподобного вектора.
Если окажется, что С А = AD, то 0 = 1, и мы yt
имеем
AB = CA = AD, (3.17)
и из (3.15) следует выражение
AD^B^O, (3.18)
которое представляет собой условие ортогональности А В1 и AD1. Таким
образом, мы пришли к хронометрической интерпретации ортогональности двух
векто- В ров, один из которых пространственноподобен, а другой
временноподобен. Фиг. 34. Ортогональ-
Другой важный случай ортогональности - орто- ность ДВУХ простран-
^ ственноподобных век-
гональность двух пространственноподобных векторов. тор0в и временнопо-
Существует со1 временноподобных направлений (как, добный вектор, орто,
например, V1 на фиг. 34), ортогональных *) к любой тональный к ним.
наперед заданной ортогональной пространственноподобной паре (А В и АС на
фиг. 34). Условие ортогональности для пары пространственноподобных
векторов имеет вид
АВ{АС{ = 0. (3.19)
Легко показать (вводя специальные локальные координаты), что последнее
соотношение эквивалентно формуле Пифагора
ВС* = АВ2 + АС2. (3.20)
Так как векторам АВ, ВС, АС уже был дан хронометрический смысл, то-это -
хронометрическое уравнение.
Скалярное произведение векторов играет в физике весьма важную роль, и
было бы естественным желание иметь прямую физическую (т. е.
хронометрическую) интерпретацию для каждого скалярного
произведения, которое можно построить. Часть этой программы уже
выполнена - уравнение
(3.15) позволяет дать хронометрическую интерпретацию скалярного
произведения двух бесконечно малых векторов, один из которых
временноподобен, а другой пространственноподобен. Подробное и
