Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
X
Z 1 jexpj- 21 ф (s + Sfe) - ф ("> - у h{s,k) |
X ГГ йсг (ф ("))<1.
sey
Вводя обозначение Z({h(s, *)}) =
= J ехр |- 2 IФ (s + - Ф (s) - 2Р~1/г (s> к) l2| X
x]Id<T(<p(s)),
sev
последнее неравенство можно записать в виде
zuhis, m^zm). (з.9)
Для его доказательства достаточно показать, что максимум статистической
суммы Z({h(s, к)}) достигается при h = 0. Обозначим
y(r) = {s== (5ь # e ^ Sd) <= y\Sl =г}^ г = 1? _ л?
Ф = {фЫ, s е у}, ф(г) = {фЫ, s е У(г)}. Множество всех конфигураций ф(г)
при фиксированном г представляет собой многообразие М - (х) Sd~1
sey<r>
с мерой dp, (ф) ^ П da(9(s)).
sev(r>
Рассмотрим^в пространстве 2?2(М, р,(йф)) операторы F1, Т\, Г2, Т2? . .
Fn, Гп определяемые следующим
128
РЕШЕТЧАТЫЕ СИСТЕМЫ
1ГЛ. 3
образом. Оператор Fr является оператором умножения на функцию
Fr( Ф(г>) =
= ехр (- 2 I <Р (* + М ~ Ф (s) -2V-'h (s,
к) рJ.
Оператор Tr задается ядром ?г(ф(Г),ф(Г+1)) =
= ехр I -2 |ф(* + в1)-Ф(.)-2р-^(М)Г
I зеуИ Легко видеть, что
Z ({*(*,*)}) =
= f ... j ц (Лр^) ... ц W">) Fx (Ф^>) X X Тг (ф(1>, ф(2>) ...Fn (ф<">) Тп
(ф<п>, ф^>) =
= Tv(F1T1 ...fnfn). (3.10)
>ч
Пусть оператор Т0 задается: ядром
То (<Р(1\ Ф(2)) = ехР (- "Г 2 ЦФ (" + 6i) - Ф (") 11а1,
I sev^1) )
{ф(")} = ф(1), (ф (* + 8х)} = Ф(2)-
44
Легко видеть, что То > 0, см. лемму 1 ниже. Запишем {{h (s, к)}) - Tr
{F1T1 ... FnTn) -
= Tr (r10/2F17'10/2r^1/2f1 х X То1/2ТУ%Т1/г ... fl/2FnTl/zTo1/2TnTo1/2) =
"=Тг(Л1-Д1....-Лг-Д"), (3.11)
где Ar = fl/2FrTl/2, Вг -= n1,2fj~1/2.
Лемма 1. ?о> 0, 4Р> 0, г= 1, ..п.
Лемма 2. Тг •...-АпВп)^ || Вх |[ -... -|| Вп ||-(ТгЛГ)1/п.....(ТгЛ)5)1/п.
Лемма 3. Jl5rll < 1, г = 1, ..п.
Доказательство лемм мы приведем чуть ниже, а сейчас закончим вывод
основной оценки. Из лемм 2
§ 3] ТЕОРЕМА САЙМОНА - СПЕНСЕРА - ФРЕЛИХА 129
и 3 и формулы (3.11) следует, что
Z ({h {s, к)}) < (Тг А?)1/п ... (Тг А$1/п,
поэтому требуемое неравенство (3.9) будет доказано, если мы установим,
что
ТгЛ?<Я({0}), г = 1, ..., л.
Запишем
Тг Anr = Тг (?J/2 • Fr • г?/2 •,.. • rj/2. Fr • rj/2) =
= Тг(^7\ЛГ0...^Г0). Сравнивая это равенство с (3.10), мы видим, что Тг 4?
= Z ({А (*,?)}),
где his, 1) = 0 для всех s^V и his, k) = his', к), где s' = (г, 52, ...,
sd) при к Ф 1. Следовательно, наша задача состоит в доказательстве
неравенства
Ziihis, m^ZiW), (3.12)
аналогичного неравенству (3.9). Таким образом, доказательство неравенства
(3.9) для произвольного набора Ш$, к)} свелось к доказательству этого же
неравенства для набора {his, к)}, обладающего тем свойством, что his, 1)
=0 для всех s^V. Повторив это рассуждение для второй оси, мы сведем
неравенство (3.12)
к аналогичному неравенству с набором {his, к)} таким образом, что his, 1
)=&($, 2) = 0 для всех s^V и т. д. Ясно, что, перебрав все оси, мы
докажем неравенство (3.9). Основная оценка, таким образом, вытекает из
лемм 1-3.
Доказательство леммы 1. Так как
Т0 (ф(!), ф<2>) = ехр (- 2 II ф {S + ба) - ф (s) II2
I sev1
= Т'о(Ф(2),Ф(1')1
>N__________________________________
то оператор Г0 симметричен. Покажем, что
(Го/, /) 5* 0
130
РЕШЕТЧАТЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 3
для любой функции da). Многообразие М -
- (х) Sd~x лежит в пространстве М' - (х) Rd.
sey^r) ^ sey(r)
Рассмотрим в М' оператор Т\ с тем же ядром Го(ф(1), ф(2)), что и Го, и
обозначим
z1 (ф(1)) = /(ф(1))-П б(||ф(5)ц-1).
sev
Тогда
(tj, /) = (flf, fy,
где (*, •)'- скалярное произведение по лебеговой мере в М'. Переходя к
преобразованию Фурье, мы имеем
(ПД/Т-Й?,/1)'.
Поскольку Т\ - оператор свертки, то Т\- оператор умножения на функцию ехр
\ -т~^ || ф (s) ||21 =
J
= С±ехр ( - С2 ^ 1^(5)12)* Положительность этой \ sey(r) / ~
_
функции доказывает положительность величины (Го/1,
/*)', а отсюда уже следует неравенство Го>0. Вторая часть леммы 1
очевидна, поскольку оператор Fr является оператором умножения на
положительную функцию, и, таким образом, лемма 1 доказана.
Доказательство леммы 2 мы не приводим, так как оно содержится в книге И.
Ц. Гохберга и М. Г. Крейна "Введение в теорию линейных песамосопряженных
операторов".-М.: Наука, 1965 (см. формулу (7.5) на стр. 121 этой книги).
Доказательство леммы 3. Мы должны показать, что
или
(TrF, F) ^ (ToF, F), (3.13)
где F = Как и в доказательстве леммы 1,
введем операторы Т\ и Т\, задающиеся теми же ядрами, что и Гг, Г0, но
рассматриваемые в простран-
§ 3]
ТЕОРЕМА САЙМОНА - СПЕНСЕРА - ФРЕЛИХА 131
стве М' = (r) Обозначим
sev(r>
^(Ф(1)) = ^(ф(1))- П -S (1 ф (S) II - 1).
(jrF, F)={T\F\FXY- (T0F, F) = (fy.F1)',
где (*, •)' -скалярное произведение функций по лебе-говской мере в М'.
Поэтому неравенство (3.13) сводится к неравенству
Переходя к преобразованию Фурье, мы получаем неравенство
шение (3.14). Тем самым лемма 3 доказана.
Поясним, почему приведенная теорема свидетельствует о наличии дальнего
порядка. Пусть Р - предельное распределение Гиббса, являющееся предельной
точкой распределений Pv. Так как все Pv инвариантны относительно действия
группы G = Sl, то и предельное распределение Гиббса Р инвариантно
