Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
неравенство lp(g) -11 ^ iКт~\
где 7 = - (яС"1)2, и К зависит только от С.
Доказательство представляет собой естественное применение техники
преобразования Фурье к нашему случаю. Мы можем предположить, что G = [0,
1) со сложением mod 1. Рассмотрим ряды Фурье:
Pj (ж) = 1 + 2 (а*Уя"* +
k=l
/ = 1, 2, ..т.
Ряд Фурье для р(#) имеет вид
Р (*) = 1 + 2 (Ahe(tm)ihx + A_he-*nihx),
k=l
оо
где = Мы оценим коэффициенты Фурье
j=i
ак j при к Ф О
I I -
1 х
J e-2nikxp. ^ dx __ J e~2nikxpj (x + ajtk) dx
X
1 - I* [1 - cos 2nkx] pj (x + ajtfe) dx
<1
2л2 2л4
где с a - п л п, а сс, ь
J ЗС / 15С4/8
определены так, что
J sin 2nkxpj (х + а^) dx = 0.
о
Последнее неравенство выполняется, так как если Р - множество функций
таких, что
ОТСУТСТВИЕ СПОНТАННОГО НАРУШЕНИЯ
119
ТО
А 1
min [1 - cos 2пкх] р (я) dx = [1 - cos 2кпх\ р* (х) dx,
ncl) ^ ^
реР 0
где
гг, 1
* лст/J.
, г = 0,1, 1;
Р* (#) =
О при остальных х.
По формуле Парсеваля
00 с
1 + 2 (| ah,} I2 + I "-ft.i I2) = J p! (x) dx < (c //)2.
ft-1 0
Положим
I
А.г = II - оо < /с < oo, &=^0,
j=i
Z = 1,2,
Л,г = 0, ? = 1,2, • • •, т.
Тогда
оо j со \ 1/2 / ОО \ 1/2
2 Мм К 2 Кд12 2 1"м12 <2са.
- оо V k=-oo } \ k=-oo }
Если I > 2, мы имеем по индукции
оо
2 Mft.il^
ft= -ОО
2 MM-i|<2cri(l-Cj)<
ft- - OO
i=3
2л2In I
3C2 )
Итак, в силу непрерывности р(я) и равномерной сходимости ряда 2 Mft I
ft=i
| р (х) - 11 ^ 2 (Mft I + I ^4-ft I) =
оо
- 2 (| Ahtm I + I A_k>m I) < Km-(tm)2,3C\
h=1
120
РЕШЕТЧАТЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 3
что и требовалось доказать. Тем самым (3.3) и теорема полностью доказаны.
С помощью доказанной теоремы Добрушина - Шлосмана можно показать
отсутствие нарушения симметрии для некоторых двумерных моделей с другими
группами симметрии.
Пусть, например, G - тор, т. е. прямое произведение конечного числа
окружностей G = Gi (r) (r) Gr и
G действует на пространстве Ф. Поскольку гамильтониан инвариантен
относительно каждого G*, то из доказанной теоремы всякое предельное
распределение Гиббса будет инвариантно относительно G. На основании этого
замечания покажем, что в двумерной модели Гейзенберга не происходит
спонтанного нарушения симметрии, т. е. не существует предельных
распределений Гиббса, не инвариантных относительно группы G.
В этой модели Ф = Sd~l - единичная сфера в семерном пространстве, ц -
мера Лебега на Sd~l, а потенциал имеет вид
и (у (И\ (,))) _|*-т <¦ <*>• * (s'ib I* - *1 - *•
I 0, если || s-s'||>l.
Мера р и потенциал U инвариантны относительно действия группы G = SO(d) -
группы собственных вращений в d-мерном евклидовом пространстве R4. Мы
докажем следующее следствие из доказанной теоремы.
Следствие. В двумерной модели Гейзенберга любое предельное распределение
Гиббса Рр инвариантно относительно G = SO(d) при любом [Г
Доказательство. Мы хотим показать, что для любой матрицы A^G
распределение Рр инвариантно относительно действия А. Из линейной алгебры
известно, что в подходящей системе координат матрица А разлагается в
прямое произведение ортогональных матриц 2X2 и 1X1 с детерминантом ±1.
Это эквивалентно тому, что Rd разлагается в прямую сумму ортогональных
подпространств, инвариантных относительно И: Rv = В\ $ Z?2 ф ф Bs, dim Bi
< 2, Bi инвариантно относительно А и сужение Л на Bi - вращение.
ТЕОРЕМА САЙМОНА - СПЕНСЕРА - ФРЕ ЛИХ А 121
Пусть Gi - группа вращений Вг, тогда G* = G\ (r) ... ..Gs - тор, А е G*.
Гамильтониан модели Гейзенберга инвариантен относительно каждого Gi,
поэтому инвариантно относительно А. Хорошо известно, что если G -
компактная связная группа Ли и g ё G, то существует картановская
подгруппа Go^G, Go, изоморфная тору. Поэтому доказанная теорема может
быть перенесена на произвольные компактные связные группы Ли.
Условия теоремы могут быть несколько ослаблены. Условие конечности
радиуса взаимодействия можно заменить условием экспоненциального убывания
взаимодействия. Условия дифференцируемости, вероятно, существенны.
§ 3. Теорема Саймона - Спенсера - Фрелиха о существовании спонтанной
намагниченности в классической модели Гейзенберга
Рассмотрим d-мерную классическую модель Гейзенберга, d ^ 3. Значения
отдельной переменной фЫ е е Sd~l, гамильтониан Н = - 2 (Ф (si)"
Ф ($2))
Через V = Vn обозначим d-мерный куб с ребром, содержащим п точек решетки
Zd, \V\ =п*. Мы будем изучать распределения вероятностей на конфигурациях
<p(F), порождаемые гамильтонианом Н при обратной температуре $ с
периодическими граничными условиями. Через а обозначим меру Лебега на
Sd~l. Тогда распределение вероятностей, о котором идеть речь, может быть
записано в виде
-рну
dPv = Ч- П d0t, sev
HV = - 2 (ф (5i)j Ф (5г)) (с учетом периодиче-
|IS1-s2ll=a=1
s1GVJ82<SV
ских граничных условий), as - мера Хаара на сфере
значений фЫ. Положим фу = гтг" 2 ^ Тогда ф^
1 1 sev
есть d-мерный вектор.
122
РЕШЕТЧАТЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 3
Т е о р ем а Саймона - Спенсера - Фрели-ха (см. [64-67]). Существует ($с>
0 такое, что при
М = lim Е (фу, фу) > 0;
У->оо
