Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
ГЛАВА 3
РЕШЕТЧАТЫЕ СИСТЕМЫ С НЕПРЕРЫВНОЙ СИММЕТРИЕЙ
§ 1. Введение
В этой главе мы рассмотрим классические решетчатые системы с непрерывной
симметрией. Пространство Ф значений спиновой переменной cp(s) будет
однородным пространством некоторой компактной группы Ли G. Основной
пример: Ф = Sv - v-мерная сфера, G = SO(v + 1) -группа (v + 1)-мерных
ортогональных матриц с определителем 1. Взаимодействие предполагается
трансляционно-инвариантным, с конечным радиусом взаимодействия.
Гамильтониан такой системы задается потенциалом Е/(ф(ТУн($))), где WR(s)
- шар радиуса R с центром в точке s, ф(ТУлЫ)-конфигурация (ф(?), ТУдЫ).
Потенциал ?Дф(1УдЫ)) характеризует взаимодействие переменной фЫ с ее
соседями в шаре ТУдЫ. Потенциал ?У(ф(ТУдЫ)) называется инвариантным
относительно группы G, если ?7(ф(ИтдЫ)) = СД^фОУдЫ)) для любого элемента
g^ е G, где *ф(ТУдЫ) = igytt), t е= WR(s)}.
Гамильтониан формально записывается в виде
Я(ф)- 2 U(^(WR(S))). (3.1)
se zd
Если потенциал U инвариантен относительно G, то гамильтониан Н также
инвариантен относительно группы G. Предположим, что на Ф задана
нормированная мера ц, инвариантная относительно действия группы G.
Обычным способом можно построить с помощью гамильтониана (3.1) и ц
условные распределения Гиббса на пространстве конфигураций ф(У) при
фиксиро-
ВВЕДЕНИЕ
109
ванных (p(Zd- У) и отвечающие им предельные распределения Гиббса.
Как и в дискретном случае, подробно исследованном в главе 2, структура
множества предельных распределений Гиббса, отвечающая гамильтониану (5Я
при больших р, тесно связана с основными состояниями Я, только эта связь
оказывается не такой простой, как в дискретном случае. Говоря точнее,
оказывается весьма существенным свойство устойчивости основного
состояния, более тонкое, чем условие Пайерлса.
Как и в дискретном случае, основным состоянием гамильтониана Я будем
называть такую конфигурацию ф = {фЫ, s^Zd}, что Я(ф|ф) = Жср) - Жф) > 0
для любой конфигурации ф, совпадающей с ф почти всюду. Если гамильтониан
Я инвариантен относительно G и ф - основное состояние для Я, то #ф -
также основное состояние при любом g е G. Таким образом, множество
основных состояний представляет собой G-пространство.
Рассмотрим следующий частный случай:
U(q>{WR(s))) есть функция класса С°° на (r) Ф(0"
t<=WR(s)
U((p(WR(s))) = 0, если ф(^) = ф(^2) при любых <= WR(s) и Жф(ТГкЫ)) > 0 в
остальных случаях. Иными словами, U достигает своего минимума на
диагонали
Я с (х) Ф (t), D - {ф {WR (s)): ф (t) = const}.
fc=Wfl( s)
Ясно, что в этом случае периодическое состояние ф, имеющее вид: ф = {фЫ =
const),- основное состояние, и множество таких основных состояний
естественно изоморфно Ф.
Рассмотрим теперь вопрос об устойчивости^ основных состояний. Пусть феФ и
Ф'={Ф (5) - ф}-Обозначим - касательное пространство к Ф в точке <р и
рассмотрим формально бесконечную последовательность касательных векторов
т = {т (s)Ef-, se ZdJ Запишем, опять-таки формально, малое возмущение
основного состояния ф- в виде ф = {ф + етЫ, s^Zd],
е - малый параметр. При этом ф + втЫ может рассматриваться как точка
пространства Ф, получаемая,
110
РЕШЕТЧАТЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 3
например, с помощью экспоненциального отображения. Каждое слагаемое в
гамильтониане ?Дф(Т7лЫ)) дифференцируемо по е при е = 0, и мы можем
написать
Я(Ф) = Я(^) +
L2 у у (: _______
2 ?idtX\
_т (t^, т (t2) I -f-
ф(()=ф /
+ о (еа). (3.2)
+~ 2 2 dU(~<t('WR sGZd h^2
Линейные по е члены пропадут, так как ф- - основное состояние. Здесь при
фиксированных t\, t<i вели-
чину -1 ..v п-Li следует рассматривать как опе-
д(Р (\) дЧ> (у F
ратор, отображающий 3~на сопряженное пространство Если т(?) = т, то
у &U (Ф (WR (s)))
поскольку вся диагональ D состоит из минимумов функции С/СфСИ^лЫ)).
Поэтому квадратичную форму в (3.2) можно записать в виде
я,(т) = -4- 2 х
х (т {h) "т {ч))'(т {tl) ~т (У)) • 1 '^2
Рассмотрим гауссовское распределение на пространстве последовательностей
т = {тЫ, s^Zd} с гамильтонианом Нi(t) (см. гл. 1, § 4, п. 3). Такое
распределение вероятностей может оказаться обобщенным, т. е. среднее
значение (тЫ, т(5)), вычисленное по этому распределению, будет
бесконечным. Это означает, что конечными будут средние типа (rUi) -
т($2), t(si) - т($2)) или средние, включающие разности более высокого
порядка, т. е. т порождает процесс со стационарными приращениями
конечного порядка. Мы будем говорить, что в этом случае основное
состояние гр- не-
ВВЕДЕНИЕ
111
устойчиво. Смысл состоит в том, что малое изменение энергии (порядка
г2Н\) получается за счет больших т, т. е. флуктуации около велики.
Наоборот, если среднее от (тЫ, тЫ) конечно, то такое основное состояние
мы будем называть устойчивым.
Пример. Классическая модель Гейзенберга. В этом примере Ф = Sd~\ радиус
взаимодействия R = 1
и и (ф (Wl (sx))) = 1 - 2 (ф (si)> ф (5г))- Далее
в*1-2в=1
Н (ф) = Н (ч|>- + ет) =
= 2) 1-- 2 (ф+етю, ф+етЮ)
2d" _ " :iK1 + 82||T(s1)||2l/ri+82||T(s2)2||_
