Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
необходимо, чтобы отдельные члены произведения имели достаточно большую
дисперсию, что, как будет показано, выполняется в двумерной модели.
Чтобы избежать некоторых трудностей, связанных с измеримыми разбиениями,
мы будем доказывать (3.3) несколько иначе. Пусть (c) - борелевская о-
алгебра на G = Sl, р, - мера Хаара с нормировкой р,(С?) = 1. Определим
измеримое пространство (М, 99, v), где М = = ?i(V2mR+no) х Хр(tm),
Gm - т- кратное прямое произведение группы G, @т и [im - о-алгебра и мера
прямого произведения измеримых пространств. Фиксируем конфигурацию
(p(Fm+i) на Fm+\. Определим вероятностную меру P{'|<p(^m.+i)} на (Л/,
33), которая имеет следующую плотность относительно меры v:
dP { У ( V 2т R+п0) * ? д. * • • ¦ * m [ (^m+l) } •
dv
= ехр {- U (g±ф (Fx), g2y (F2), ..., gm4> (Fm) | Ф (Fm+1))} x
X ( j exp {- U (Ф (V2mR+no) | ф (^ж+1))} X
(r)v2 mR+riQ
Х^шк+п0^ф(72шД+По))-1.
Ниже мы будем опускать q>(Fm+i) в P{-l(p(Fm+i)} и писать просто Р.
Меру Р можно интерпретировать так: возьмем условное распределение Тиббса
для конфигураций Q(V2тв+п0) при условии <p(Fm+i) в fi(Z2-У2тл+пв ) и
выберем некоторые gi^G, г= 1, 2, ..., т, наудачу. Повернем конфигурацию в
F{ с помощью элемента g~~ i = 1, 2, ..., /гг, тогда Р{<р(Т2тод+п0 ), gu •
•Нт) - плот-
ОТСУТСТВИЕ СПОНТАННОГО НАРУШЕНИЯ Ц5
ность вероятности того, что мы выбрали элементы gi, ..., gm, и ф(^2тЛ+По)
- конфигурация, которая получилась после поворотов. Запись P{gcplFi)} ~
P{g'q>(F 1)} означает, что gq>(F 1) и g'y(F\) имеют почти одинаковую
плотность вероятности по условному гиббсовскому распределению PHqKFm+i)},
а это как раз то, что мы хотим доказать, поэтому мы будем изучать
Plgrplf1!)}. Для любого g е G
р {г <p(^i)} = р [84>{Fi) | ф (^m+i)} х
X jexp {-и (ф (F2mfi+n")| ф (Fm+1))} dp (ф (F2mB+n,)) х a(4''2mH+n,)
хГ f ехр {- и (?Ф (FJ, ф (FamH+", -
.B(VamR-*l)XG
Fi) | ф (/''m+i))} dji (ф (V"mIi+n, Fj)) dp, (g)j
Поэтому (3.3) эквивалентно
|P{^(F,)} _Р{еф(^)}| ^Km-iPieqiFO},
где e - единичный элемент G. Мы докажем, что |P{g*p(Fi)} - II < Кт-т. Так
как
Р ф (^l)} = f Р {8 ф (ТгтЯ+По)} X
Щу2тЯ+nQ-Fl)
ХР{ф (V 2mH-fne ^1) | ф (^l)} d\l (ф (V 2wR-fn0 ^l))>
то достаточно показать, что
\Plg\<piV2mn+n.)} - 1\ <Кт-\ (3.4)
Для того чтобы доказать последнее соотношение, рассмотрим условную
плотность §2,
^т1<р(^2тн+п0)}. Вначале мы вычислим U(giy(F 1), ^2ф(^2.), ...,
йГвф(^в)|ф(^в+1)). Заметим, что из-за фи-нитности радиуса взаимодействия
или И^яЫ <= Fu или WR(s) <= Fi U Fi+i для некоторого i = 1, 2, ..., т.
По-
116
РЕШЕТЧАТЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 3
этому
и (gxф (FJ, g2ф (F2), ..., гтф (Fw) I ф (Fm+i)) =
m
= П ^(Ф(^я (*))) +
j=i seEj
+ 2 рОр^я (*))) =
s: WR(s)nV2mfl+"o^Q S^^2mfl+n0 m m
= 2f/i (Ф (^j)) + 2 (**ГАф (Fj), ф (Fi+1)), (3.5)
i=i j=i
где gm+i=e, a Uj и fflj - суммы в первом и втором слагаемом
соответственно, зависящие от соответствующих переменных. Положим gigT+i =
&i, i = 1, 2, ../м. Легко видеть, что
.3?j (fejcp (Fj), Ф (Fj+1)) <Cl7- (3.6)
для некоторого C\=Ci(L, Я). Действительно, каждое слагаемое в ^(^ф(^),
q>(FJ+i)) имеет вид ЕДф(И?д($))), где
И^Ы П F, Ф 0, ТТ*Ы П Fi+i = 0.
Дифференцируя дважды каждый член, мы получаем сумму не более чем //(Я)
слагаемых, каждое из которых не превосходит L по условию (*). Теперь мы
имеем
Р {Sli • * * 1 gm | ф (^тД+Яо))- ~
= ехр {- U (?ХФ (Fx), ..., gmф (Fт) | <p(Fm+1))} X
X [ j ехр {- U (^ф {Fj}, ...,gm ф (Fm) I ф (Fm+1))} х
Gm
-1
X cZp (gj) . . . d\i {gm)
j (*j<p (*> ф (Fj+i))
exp{- 21
i=i
exp
m
¦2
7=1
,(Лур (^.),ср(^+1)) [J do. (fc )
J j=l
m
= 11 Pi №ik(Fj)^(Fj+1)),
i=i
ОТСУТСТВИЕ СПОНТАННОГО НАРУШЕНИЯ Ц7
где
Pi (Л |ф (Fj), ф (Fi+i)) =
ехр {- (Аф (Fj), (р (^j+1))} J exp {- Ц. (АФ (F}), Ф (FJ+1))} d[i (A)'
G
Мы видим, что переменные hi = gigi+ъ i =1, 2, .. .,m,
УСЛОВНО НезаВИСИМЫ При УСЛОВИИ фСРгтл+по ), плотность вероятности Аг -
функция ргШфСР*), ф(/Гг+1)), gi = h\ *... • hm. Поэтому справедливо
равенство
Р{-|ф(^*тн)} = Р1(-|ф(^1),ф(^))*
* Рг ('I Ф (^г) ф (*.)) * • • • * РТП (* I ф (^т)? ф {Fm+l))i (3.0
где * означает свертку распределений на единичной окружности.
Оценим теперь max pj (h | ф (Fj), ф (Fj+i)). Пусть
/i€=G
Vj - точка минимума для 52ДЛф(/^), фСР^ц)), т. е. j (^*Ф (*j), Ф (Pj+i))
= min (Лф (Fj), ф (Fj+1)).
heG
Применяя формулу Тейлора в форме Лагранжа и оценку (3.6), получаем
(Аф (Fj)% ф (F ,-+1)) < я, (Vtf (Fi), ф (Fj+i)) +^1 h-Vif, | ехр [- &i
(Аф (Fi), ф (Fi+1))] dp (A) >
G
1
> exp [- igj (Vi<f> (F^, ф (Fj+1))] ] exp [-CJ \ y-Vi |2] dj/>
0
> exp [-Mi (y/p (F^, ф (Fj+1)) 1 -CT1;-172-
Поэтому
рД/г|ф(^-), фСРУи)) ^ C3V7.
Теперь, имея в виду (3.7) и последнюю оценку, для доказательства (3.4)
достаточно воспользоваться следующей леммой.
Лемма. Пусть pi(g), ..., Pm(g)-плотности распределений вероятностей на
единичной окружности G.
118
РЕШЕТЧАТЫЕ СИСТЕМЫ
{ГЛ. 3
Предположим, что рД#) ^ СУ/, / = 1, 2, ..т, с некоторой константой С.
Тогда для плотности распределения p(g) = pi * ... -.. * Pm(g) справедливо
