Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синай Я.Г. -> "Теория фазовых переходов" -> 41

Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.

Синай Я.Г. Теория фазовых переходов — РХД, 2002. — 208 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyafazovihperehodov2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 61 >> Следующая

зависящими от п, п0. Введем величину fn(t; р), равную вероятности того,
что сумма ф(ф(7(п)))= S Ф (х) приняла значение t, т. е.
2 ехр{-рЯп(Ф(У<")))}
^ /#. 04 _
ф(у(п>):ф(ф(у<п>)=*__________________¦_________________
2 ехр{-{Шп(ф(И">))}
ф(у(п))
V ехр{-ря"(ф^п))},
1
"71 Ф)
ф(у(?г)): ф(ф(у<п))М
S"(P)= X ехр{-ряп(ф(7(п)))).
ф(у<п>)
Тогда мы можем написать, пользуясь видом Нп:
/п (?" Р) =
2 ехр{-ряп(ф(Ип)))}
ср(у(п)): ф(ф(v(n)))--=t
~ 1ЛР) -
1
е-(й)2 2 ехр{-ряп(ф(у<")))}
*1 ф(у(")): ф(<р(у{" Х))Ь*1.
ф(ф(у?" 1)))=<-г1>
_1_У у х
s" (Р) л ** х
*1 <р(у(п)): ф(ф(у(" 1)))=<1,
ф(ф(\'<2П-1)))=(-<1
X ехр {- ря"-! (ф (F^1*)) - ряп_! (ф(7<и-1)))+ + рс"2-,п**1 = -%РГ ехр
^c"2_2nf2}х
X 2 2 X
ф(^-1)):ф(ф(И,в-1)))=,*-*1
ИЕРАРХИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДАЙСОНА
139
ехр{-рят,_1(ф(у(п *>))} ехр(-рЯп_1(ф(У(2п *>))}
х ап-1 (Р) Н^ф)
= ~kwехр |!Р^2-2"^12 /"-i Р) f"-i Р)-
Последнее соотношение показывает, что распределение fn выражается
рекуррентно через распределение fn-j. Численный множитель S^-i ф) (Hn
((З))-1 определяется из условия нормировки. Теперь можно вообще забыть о
гамильтониане Нп и иметь дело только с последовательностью рекуррентных
соотношений
/"(*; Р) =
= Кп (Р) 2 2 /"-1 (h; р) /"-X (t - <i; Р),
(4.2)
JC1 (Р) -
= 2 S1 /п-П^Р)/-!^-*!;",
t=-2" X1 = -2n~1
(4.3)
t и fi четны.
Наша цель - изучить поведение иерархических моделей в окрестности рсг. Мы
ожидаем, что при Р < рсг типичные значения переменной <PUp(F(n))) имеют
порядок t ~ 2те/2. При таких t множитель ехр {pcn2~2n?2} 1 при п °°, и
последовательность
функций fn(t\ р) должна вести себя асимптотически как последовательность
обычных сверток.
Наоборот, при р > Per типичные значения t имеют порядок 2П, и множитель
ехр {рсп2-2п?2} становится основным. Сделаем теперь следующее
предположение, справедливость которого будет вытекать из всего
последующего анализа: точка р = рсг характеризуется
тем, что при этом рсг типичные значения t таковы, что cn2~2nt2 ~ 1. Если
это так, то естественно положить t = z2nc~nl2 и считать, что z ~ 1 при р
= рсг. Далее, пусть функция gn(z; р) = /n(z2ne"n/2; p)2n+1c"n/2. Тогда,
140
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 2-ГО РОДА
[ГЛ. 4
подставляя последнее выражение в (4.2), мы получим gn (z; Р) =
= Ln (р) 2 %n-i (Zx; P)g"-i (z2; р) cn/a2_n_1,
21+Z2_
2 ~ fc
(4.4)
z пробегает значения вида z==2jcn/22~'n, |/|<2п. Множитель ДДр) по-
прежнему определяется из условия нормировки. Если наше предположение
верно, то естественно ожидать, что при о функции gn(z; р) сходятся к
пределу, и предельная функция g(z; р) удовлетворяет уравнению
оо
g (г; Р) = L (Р) е** j g (-ф= + и; pj g - щ р^ du,
(4.5)
оо оо
¦t'"1(P)= J* e^dz j g(-^ + u; pW-JL- - и; pjdw.
-oo -oo
(4.5')
Тем самым дело сводится к нахождению положительных решений нелинейного
интегрального уравнения
g (z; р) = ерг2 j g + щ рj g - и; pj du, (4.
6)
поскольку из решений последнего уравнения интересующие нас решения можно
построить с помощью нормировки. Заметим также, что если g(z; Ро) -
решение уравнения (4.5) при каком-либо Ро, то решение
(4.6) при любом другом р получается из равенства
ес-
S (z; Р) = g ^ z; р0 j Таким образом,
тественно рассматривать однопараметрические семейства функций {g(z; р)},
удовлетворяющие при каждом р, 0<р<с", уравнению (4.6), также зависящему
от р.
Теперь мы можем уточнить постановку задачи о критической точке для
иерархических моделей. Пусть дано семейство решений g(z; р) уравнений
(4.5), (4.5'). Требуется описать множество U начальных га-
ИЕРАРХИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДАЙСОНА
141
мильтонианов ЯП() ({ср (^П°^)}), обладающих следующим свойством: для
любого НПо е U найдется такое Рсг(Яп0), что
1) распределение вероятностей, описываемое функцией gn(z; Рсг), при слабо
сходится к распреде-
лению вероятностей с плотностью giz; рсг);
2) при р < рсг найдется такая функция о(р), что при п оо
fn ~ /2жтф) 2" 6ХР 2а(р) 2п }
для t таких, что U2"n/2I при любом А, не зависящем от тг, и а(р) ^ const
• (Рсг - Р)"7 при р t рсг; при этом критический индекс у не зависит от
#п0, а определяется только решениями g(z; р);
3) при р > рсг найдется функция m(p) такая, что
средний спин-^-Ф (ф (F(n))) сходится при п-+°° к
±т(р) по вероятности, отвечающей распределению Гиббса для гамильтониана
РЯП(); при этом ттг(р) ~ ~ const • Ip - рсг1(r), где число (c) не зависит от
Я71(), а определяется только решением g(z; р) *).
В связи со сказанным естественно ввести следующее определение.
Определение 4.2. Решение g(z; р) уравнения
(4.6) называется термодинамически устойчивым, если найдется такое тго,
при котором описанное выше множество U будет открытым (в естественной
топологии гамильтонианов, удовлетворяющих условию симметрии) **).
•) Свойства 2), 3) сформулированы в виде, наиболее естественном с точки
зрения теории вероятностей.
**) Опишем подробнее топологию, которая имеется в виду. Пространство всех
возможных начальных гамильтонианов
есть векторное пространство размерности 2П° с
обычной топологией. Пространство симметричных гамильтонианов, т. е.
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 61 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed