Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
пишется именно в таком виде, мы объясним позже. Индекс ц является
основным пара-
2 ч
метром. Положим а = 1 +-j~-j- Если а>1, то для куба VL со стороной L
Е( 2 ф(ж)У= 2 Е(ф(ж)ф \xevL J x,yevL
(У))
x,yevL \\х~ У"
= const-| VL |".
ИЕРАРХИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДАЙСОНА
135
Так как мы рассматриваем случай, когда 2 ф (#)
X€EVL
принимает ограниченные значения, то должно быть а ^ 2. Неравенство а > 1
свидетельствует о наличии сильиозависимых случайных величин.
2. Рассмотрим трансляционно-инвариантное предельное распределение Гиббса
P(j)) при р < рсг. Предположим, что Е(>ф(#)) =0,
Е( 2 Ф<*)\*~а(Р)|?ь|.
Естественно допустить, что а(р) t оо, когда р t рсг, и это стремление
происходит со степенной скоростью, т. е. о(р) - const • (рсг - р)~т при р
t рсг. Тогда индекс у характеризует "скорость образования зависимости"
при Р t рсг.
3. Согласно определению 4.1 при р > рсг имеется два разных трансляционно-
инвариантных предельных распределения Гиббса Рi(p), Рг(р). Их различие,
как правило, проявляется уже на значениях средних ai(fi) = ?р1ф)(ф(;г)),
а2(р) = ?р2(р) ((фЫ), т. е. а\Ф а2. Тогда ai(p) - а2(р) -"• 0 при Р 1 рсг
и естественно предположить, что lai(p) - a2(p)l ~ const • Ip - pcrlw при
Р \ Per.
Величины ц, у, о) называются критическими индексами. В физической
литературе, помимо указанных, используются и другие критические индексы
для характеристики статфизических свойств системы в окрестности Per.
Конечная цель теории критической точки - для заданного гамильтониана
определить отвечающие ему критические индексы. Эта задача еще очень
далека от своего решения. В этой главе мы изложим некоторые
математические результаты, относящиеся к описанной проблеме.
§ 2. Иерархические модели Дайсона
В работе Ф. Дайсона [59], посвященной теории фазовых переходов для
одномерных дальнодействую-щих моделей, были построены вспомогательные
модели, названные им иерархическими. Потом выяснилось,
136
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 2-ГО РОДА
[ГЛ. 4
что иерархические модели: представляют не меньший интерес в связи с
теорией критической точки. В этом параграфе мы определим иерархические
модели Дайсона, а дальше получим ряд результатов о критической точке для
этих моделей.
Иерархические модели, точнее, их гамильтонианы, строятся индуктивно. На
п-м шагу рассматривается объем У(п), |У(П)1=2П, состоящий из двух
подобъемов F(n-" у(п-1)? I у("-1) | = | V(n-1) | = 2"-1_ Конфигура-цией ф
в объеме У(Г1) мы называем функцию ф(У(Г1)) = = {ф(я), #^У(П)}(, заданную
на У(п) и принимающую значения ±1. Гамильтониан Нп(ф(У(п))) определяется
параметром с, 1 < с < 2, и имеет вид
Таким образом, если рассматриваются п>По, то для полного построения
гамильтониана необходимо задать "начальные условия" в виде начального или
затравочного гамильтониана Нп0 (ф (У(п°))).
При любом п>щ объем У(п) состоит из двух одинаковых подобъемов Fin_1),
y(2n_1), каждый из которых, в свою очередь, состоит из двух одинаковых
подобъемов каждый из которых состоит из двух
одинаковых подобъемов и т. д. Через ?(т)
обозначим разбиение У(п) на подобъемы У*^. .лт, а через &п0 обозначим
подгруппу группы перестановок пространства Vn | %псохраняющих все
разбиения ?(т), п - по ^ т < га. Последнее означает, что перестановка g е
Gn0 переводит элемент любого разбиения ?(т) в элемент того же разбиения.
Легко видеть, что гамильтониан Нп инвариантен относительно группы Gn0, т.
е.
ocGV^71)
(4.1)
ИЕРАРХИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДАЙСОНА
137
Слагаемое в (4.1) - с12
2 описывает
2 <р(я)
=у(п)
взаимодействие между конфигурациями ф (Fi"_1)) и Ф (1^п_1)). Важно, что
это взаимодействие бинарное и является функцией только от сумматорных
величин 2 ср (х) и 2 Ф (х). Этот факт дальше будет
хеУ2П_1)
чрезвычайно существенно использоваться. Знак минус означает, что мы имеем
дело с ферромагнитной моделью. Параметр с принимает значения в интервале
1 < с < 2, поскольку при с < 1 взаимодействие
сп2~гп ( 2 Ч> (*) \ 2 стремится к 0 при п~* о° равно-
\xev(n) I
мерно по всем конфигурациям, а при с>2 энергия конфигурации {<р(ж) = 1}
растет по модулю быстрее, чем объем, и в таком случае невозможен
термодинамический предельный переход. Пограничные случаи с = 1,2 требуют
специального анализа.
Допустим, ЧТО 7*0 =1. Для любых двух точек Xu х2 е V{n) рассмотрим
наибольшее к, при котором точки х\, х2 принадлежат разным элементам
разбиения l{k\ И положим d(x 1, Я2)=2П"\ В частности, для х\ е е У(1П_1),
х2 = УзП_1) имеем к = 1, d(#i, а:2) = 2П"1. Для таких a?i, #2 слагаемое -
сп2"2ncp(#i)(p(;r2), описываю-
с ф (х Л ф ^
щее взаимодействие (ptei) и <р(#2), равно -г - ------------*
4 d (XVX2)
а - 2 - log2 с. Ясно, что 1 < а < 2.
Аналогично можно рассмотреть любые пары точек х\, х2. В результате
получим, что гамильтониан
#п(ф(У(п))) записывается в виде
яДф (F<"0) =, , 2
ап] (*г *2)
г1* г2гП -77.Q
2
xiev("o) . d (V Z2)
фИфИ,
Ч-- ln-nQ
"r2ev(n.°)
nQ}
(ilf.. - Дуг- п0)^(Ч г?0)
138
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 2-ГО РОДА
[ГЛ. 4
где коэффициенты (х 1,^2) ограничены сверху н снизу постоянными, не
