Теория фазовых переходов - Синай Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
при которой fix, 0) имеет г одинаковых минимумов, на каждой из г кривых г
- 1 одинаковых минимума, а один минимум при этом вообще пропадает, на
каждой из Сг двумерных поверхностей имеется г - 2 одинаковых минимума и
т. д. Эта стратификация является в определенном смысле универсальной.
В рассматриваемой нами ситуации гамильтониан H0iф) нельзя рассматривать
как функцию действительного переменного, и его основные состояния,
удовлетворяющие условию Пайерлса, нельзя рассматривать как точки
изолированного минимума. Тем не менее, разбиение окрестности пространства
параметров имеет тот же вид, что и стратификация, производимая вер-
сальным семейством описанного типа. Было бы интересно, во-первых,
подробнее исследовать свойства гладкости стратов, строящихся в теореме,
и, во-вторых, сформулировать для наших задач понятие вер-сального
семейства и показать, что семейство гамильтонианов Н0 + \i\H\ + ... +
\ir-\Hr-\ является версаль-ным семейством для гамильтониана #о, имеющего
несколько основных состояний.
Библиографические замечания к главе 2
1. Единственность предельного распределения Гиббса для гамильтониана рЯ
при малых р доказана в книге Д. Рюэлля [39] и в статьях P. JI. Добрушина
[13], [16].
2. Многомерная модель Изинга (d^2) при больших р была рассмотрена в
работе Р. Пайерлса [1051 в 1936 г. В этой
106 ФАЗОВЫЕ ДИАГРАММЫ РЕШЕТЧАТЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
работе появилось основное неравенство для вероятности контура,
приведенное в § 3. В таком же духе модель Изинга была рассмотрена в
работах Р. Гриффитса [791 и P. JI. Добруши-на [131.
3. Анализ предельных распределений Гиббса, основанный на изучении
статистики контуров, называется часто контурным методом Пайерлса. Этим
методом удалось исследовать различные классы решетчатых моделей. Упомянем
известные нам работы: Ф. А. Березин, Я. Г. Синай [2], Ж. Жинибр, А.
Гроссман, Д. Рюэлль [72], P. JI. Добрушин [55], В. М. Герцик, P. JI.
Добрушин [10], В. М. Герцик [11], О. Хейлман и Е. Либ [84], О. Хейлман
[85], С. А. Пирогов [33], [34], С. А. Пирогов и Я. Г. Синай [35], М.
Кассандро, М. Да Фано, Дж. Оливерери [51], Л. Руннелс [111]. Условие
устойчивости основных состояний, названное в главе 2 условием Пайерлса,
было введено в работе В. М. Герцика [И]. Интересные результаты получены в
статьях В. Холыптинского и И. Славного [86], И. Славного [114]. Основная
теорема, излагаемая в этой главе, содержится в работах С. А. Пирогова и
Я. Г. Синая [36], [37].
В работах А. Бортца и Р. Гриффитса [49], В. А. Малышева [100] и Э. Либа
[98] доказывается существование фазовых переходов для некоторых
дискретных моделей, где ф(я) принимает непрерывные значения. Было бы
интересно перенести общую теорему этой главы на этот случай.
Интересные результаты, основанные на идее некоторой двойственности
алгебраического характера, представлены в книге Ш. Грубера, А. Хинтермана
и Д. Мерлиии [80].
4. Основные состояния для некоторых решетчатых моделей исследованы в
работе И. А. Кашапова [21]. Ряд общих результатов о структуре множества
основных состояний получен в работах В. Холыптинского и И. Славного [871.
Контурные модели были введены в работах Р. А. Минлоса и Я. Г. Синая [27-
29]. Там же были изучены предельные и другие свойства отвечающих им
корреляционных функций.
5. В работе Д. Галлавотти и С. Миракль-Соля [68] было показано, что у
модели Изинга при больших р имеется только два трансляционно-инвариантных
предельных распределения Гиббса. Этот результат потом обобщался в работе
А. Мессаже и С. Миракль-Соля [102]. Д. Г. Мартиросян в [23] показал, что
для тех значений параметров р, при которых в основной теореме доказано
существование г или г - 1 периодического предельного распределения
Гиббса, других периодических предельных распределений Гиббса не
существует. Другие относящиеся сюда результаты имеются в [24].
6. Существование при больших Р непериодических предельный распределений
Гиббса, связанных с непериодическими основными состояниями, было
установлено Р. Л. Добруши-ным [17], см. также X. Ван Бейерен [46].
7. Общий подход к построению гамильтонианов с несколькими предельными
распределениями Гиббса был развит в работах Д. Рюэлля [40], [110],
который, в свою очередь, опирался на весьма общие теоремы Р. Израэля
[891. Взаимосвязь между
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ К ГЛ. 2
107
подходом, описанным в этой главе, и подходом Д. Рюэлля, не вполне ясна.
8. Основная теорема этой главы может интерпретироваться как вариант
математически строгого доказательства правила фаз Гиббса (см. также
работу Дж. Либовица l[96]).
9. Неединственность предельного распределения Гиббса для двумерных
моделей квантовой теории поля была установлена в работах Дж. Глимма, А.
Джаффе и Т. Спенсера [77], [78]. Описанное исследование структуры
множества основных состояний в этом случае следует работе С. А. Пирогова
и Я. Г. Синая [106]. Недавно интересные результаты были получены в этом
круге вопросов К. Гаведским [711.
