Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
т. е. должна быть введена симметризация билинейных по бозонным операторам
множителей. Мы будем иногда обозначать требующуюся симметризацию точкой и
писать
X = —[Л2ф*-ф + З^ф* ? с^ф, (10.37)
где
ф*-ф = -| [ф*, ф] + - (10.38а)
Для упрощения обозначений мы и в случае фермионов часто будем отмечать
необходимую симметризацию тоже точкой и писать
у [фО, ф]=ф(7-ф. (10.386)
§ 3. Электромагнитные взаимодействия
В § 7 гл. 7 мы отмечали, что с учетом уравнений поля из инвариантности
лагранжиана относительно преобразования фг —» фг = фг + бфг вытекает х)
существование сохраняющего тока
/й=2 Гж^Ф'+т^ф*") ’ (10-39а>
“ Ч "Фг, ц • <3фг, и у -
Vм = 0- ?. (10.396)
Мы установили, кроме того, что инвариантность эрмитовой лаг-ранжевой
плотности X относительно калибровочных преобразований
cpr = eiacpr, (10.40а)
фг=е_1“фг, (10.406)
0 Ниже, вплоть до уравнения (10.47), оператор срг обозначает произвольный
оператор поля, а не обязательно оператор именно мезонного поля.
266
Гл. 10. Взаимодействие между полями
в силу (10.39) приводит к сохраняющемуся току, который может быть
отождествлен с плотностью электрического заряда и тока системы. Наоборот,
наложение требования, чтобы лагранжиан, описывающий электрически
заряженные поля, был инвариантен относительно калибровочных
преобразований
фг = е4еу-фг, (10.41а)
ср* = (10.416)
(известных как калибровочные преобразования заряженных полей) приписывает
частице и античастице равные и противоположные по знаку заряды, величина
которых не фиксирована. Так как X эрмитов, из калибровочной
инвариантности вытекает, что в лагранжиане должны содержаться только
члены вида ф*фг.
Янг и Миллс [872] (см. также работу Утиямы [797]) высказали мысль, что
указанное выше требование калибровочной инвариантности нужно
распространить и на те калибровочные преобразования, при которых фазовый
множитель Х является произвольной функцией от координат %=%{х), так что
относительная фаза фг в двух различных пространственно-временнйх точках
полностью произвольна. Чтобы сделать лагранжиан инвариантным относительно
этой более широкой группы преобразований, необходимо ввести новое поле
Я^я)1), которое носит векторный характер и преобразуется при указанных
калибровочных преобразованиях по закону
= ^ + (10.42)
Кроме того, взаимодействие между полями А^ и фг должно вводиться путем
подстановок .
дцЧ>,- {*)—> ( — (.г)") фг (х) (10.43а)
Ч с у
И
Зцфг (я)—> (Х-НуЛ,Дх)^ф, (X) (10.436)
в лагранжиане для свободных полей. Эта расширенная калибровочная
инвариантность (называемая также инвариантностью относительно
калибровочных преобразований второго рода), по существу, определяет
взаимодействие заряженных полей с электромагнитным полем F^v = дуА^ —
d^Av). Способ, при помощи которого можно прийти к правилам (10.43),
основан на замечании, что при калибровочном преобразовании
фг—> ф( = е{ех(Уфг, ' (10.44а)
Ф*—> ф[* = e~iex^(p*, (10.446)
Ац—> Лц = Лц -4- 3^% (х) (10.44в)
0 Вывод в работах [872, 797], а также и в ряде других статей о том, что
из требования расширенной калибровочной инвариантности вытекает само
существование векторного поля, неправилен. Фактически в широком классе
теорий, охватывающем и рассмотренные в этих работах случаи, фазы в
различных пространственно-временных точках совершенно произвольны без
привлечения каких-либо вспомогательных полей и дополнительных
взаимодействий. Если же постулировать существование векторного поля А
наряду с другими полями, то расширенная калибровочная инвариантность в
такой теории ограничивает число степеней свободы взаимодействующего 4-
векторного поля и гарантирует, что оно описывает только частицы со
спином, равным единице. К этому сводится смысл калибровочной
инвариантности (см. по этому поводу статью [915]).— Прим. ред.
§ 3. Электромагнитные взаимоде.йствия
267
выражение (9ц — ieAц) фг преобразуется согласно правилу
(9ц — ieA'p) ф; = eiez (9ц — ieAц — ie д»% + ie д^х) фг = eie* (9ц —
ieA») фг. (10.45)
Таким образом, фазовый множитель в этом выражении ведет себя так, как
если бы он был постоянной, так что выражение ф/(9ц — ?е^4ц) фг
инвариантно относительно калибровочного преобразования (10.44). Поэтому
если в лагранжиане для свободных полей Хт сделать для всех заряженных
полой замену
дцфг—^(дц— ieA^cpr, (10.46а)
дцф? (9ц + ieA») ф* (10.466)
и прибавить к этому лагранжиану лагранжиан невзаимодействующего
электромагнитного поля Хет — —1UF, то полный лагранжиан X — Х'т -Г Xет
будет инвариантен относительно преобразований (10.44). Заметим, что эта
расширенная инвариантность соблюдается только при условии тождественного
равенства нулю массы квантов электромагнитного поля. Если бы кванты поля
Ац имели массу т, то лагранжиан свободного поля А» был бы равен —
\,4^nv^fXV — ni1 А»А». Тогда теория не была бы инвариантна относительно
расширенных калибровочных преобразований из-за неинвариантности выражения
nilAvA'11).
В том специальном случае, когда заряженное поле взаимодействует с
