Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Швебер С. -> "Введение в релятивистскую квантовую теорию поля" -> 114

Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля — Иностранная литература, 2003. — 859 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievrelyativnuu2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 108 109 110 111 112 113 < 114 > 115 116 117 118 119 120 .. 373 >> Следующая

импульса системы полей. Для однородных преобразований Лоренца U (а, А)
запишется в виде
U( 0,А) = е1^М»\ (Ю.5)
где М^у — тензор момента количества движения 'поля. Таким образом, видно,
что существование операторов Рд и M^v есть следствие релятивистской
инвариантности. Операторы Рд и M^v являются генераторами
удовле-
сдвигов и преобразований Лоренца соответственно и поэтому творяют
следующим перестановочным соотношениям:
[Рд, Л>] = 0, (10.6)
[Рд, Mxk] = i(g^PK-gilXPK), (Ю.7)
— i (g'xnAfj.t |i g\\iMXv (10.8)
При бесконечно малых преобразованиях
С/(а, 1) ^ 1 + ш^Рд, (Ю.9а)
C/(0,A)^l + iiA^v (10.96)
формула (10.3а) переходит в
(1 + iav-P^) ф (х) (1 — ш^Рд) + О (а2) ^ ф (х) + а^ддф (х) + 0[(а2))ъ
^ Ф (a:) + ia^ [Рд, ф (г)] + .. ., (10.10)
откуда
[Рд, ф(а:)]= — ?<Эдф(я). (10.11)
Аналогично,
[А7д^, ср (х)] i (хд5v Худц)ср(х), (10.12)
[Рц, фа И] = ? , (10.13)
4
Фа (®)] = i Худц) фа (.х) -[- i 2 (^ц^)азФр (х), (10.14а)
где
1
= ЦТ (YhYv - YvYn). (10.146)
Следует отметить, что выписанные выше релятивистские преобразования, так
же как и рассмотренные ранее преобразования для случая свободных полей,
относятся к «шредингеровскому типу», т. е. преобра-
17*
260
Гл. 10. Взаимодействие между полями
зуются векторы состояния (|Ф)—>|Ф') = С/(а, Л)|Ф)), но используются «одни
и те же» операторы (полевые наблюдаемые).
В дальнейшем для некоторых, целей будет удобно использовать
релязивистские преобразования «гейзенберговского типа», когда
преобразуются не векторы состояния, а операторы. При преобразовании
гейзенберговского типа наблюдаемая О (х) при релятивистском
преобразовании ж —> х = Ах + а преобразуется по правилу О (х) —> О' (х).
Связь между преобразованиями шредингеровского и гейзенберговского типа
заключается в следующем: если при преобразовании шредингеровского типа
вектор состояния | Ф) переходит в |Ф'), то
(Ф, О' (х) Ф) = (Ф\ О (х) Ф'). (10.15)
Если U унитарный оператор, то с учетом соотношения | Ф') — U (а, А) | Ф)
O’ (х) = U-1 (а, А) О (х) U (а, А) =
= U (— Л_1а, Л'1) О (x)U ( — А~га, Л'1)"1 = S0 (Л) 0(Л-1 (х - а)),
(10.16а) или, что то же самое,
О’ (х1) = S0 (А) О (х). (10.166)
Скалярность лагранжиана X тогда означает, что преобразованный лагранжиан
X' имеет одну и ту же величину в одной и той же в физическом Смысле
точке, т. е.
<3?'(ф'(ж'), ф'(ж')) = X (ф(ж), ф(ж)) = с5?(А(А)“1ф'(а:'), ф'(ж')),
(10.17а)
или, эквивалентно,
С/'1 (а, А)3?(ф(ж'), ф(ж'))Е7(а, А) = .5?(ф(ж), ф(ж)). (10.176)
Мы уже установили, что относящаяся к свободным полям часть лагранжиана
Хй, являющаяся суммой лагранжиана свободного дираковского поля (8.2) и
лагранжиана свободного скалярного поля со спином, равным нулю (7.227),
преобразуется как скаляр при собственных преобразо-
г>
ваниях Лоренца. Поэтому интеграл действия ^ б,*хХ0(х) для свободных
полей является инвариантом. Возвращаясь к части лагранжиана, описывающей
взаимодействие между нейтральным (а потому и эрмитовым) скалярным полем и
заряженным спинорным полем, мы находим, что относительно собственных
преобразований Лоренца скалярами являются следующие локальные связи:
Сф (ж) ф (х) ф (х) (скалярная связь),
Сф (ж) у5ф (х) ф (ж) (псевдоскалярная связь),
Сф (х) уцф (х) З^ф (х) (векторная связь),
?бф (х) Уб'УкФ (х) (х) (пссвдовекторная связь).
В плотности лагранжиана для псевдовекторной связи множитель i
обеспечивает эрмитовость выражения. В этой связи вспомним, что у5 есть
антиэрмитова матрица, у* = (Y0Y1Y2Y3)* = — Ys5 и что = У°УцУ°- Поэтому
(фу5ф)* = (ф*у0у5ф)* = Ф*У5^Ф = ''ЬзФ, (10.18)
WYi^)* = ^*v!?Y!iYo4 = 4>Y5Yii’l’ = -'ЬфЛ'бФ- (10.19)
§ 2. Ограничения, обусловленные пространственно-временнйми симметриями
261
Рассмотрим теперь ограничения, налагаемые требованием инвариантности
теории относительно обращения времени по Вигнеру. Важная теорема Паули
[632] и Людерса [517, 518] (это открытие, по существу, было предвосхищено
Шеллом и Швингером [714]), известная в настоящее время, как СРГ-теорема,
утверждает, что в рамках релятивистски инвариантных локальных теорий поля
в предположении обычной связи между спином и статистикой инвариантность
относительно обращения времени эквивалентна инвариантности относительно
UpUc, т. е. комбинированной операции зарядового сопряжения (Uc) и
пространственного отражения (Up). В лагранжевой формулировке СРГ-теорема
следует из предположений об инвариантности лагранжиана относительно
собственных преобразований Лоренца, эрмитовости лагранжиана, о
локальности теории и о том, что частицы целого спина (бозоны) должны
подчиняться статистике Бозе — Эйнштейна, а частицы полуцелого спина
(фермионы) должны подчиняться статистике Ферми — Дирака, т. е.
соблюдается обычная связь между спином и статистикой.
Мы дадим детальное доказательство этой теоремы в гл. 18. Здесь же мы
несколько менее формально вкратце изложим физическое содержание
предположения об инвариантности относительно операции СР. Для этого
вспомним, что инвариантность относительно операции пространственного
Предыдущая << 1 .. 108 109 110 111 112 113 < 114 > 115 116 117 118 119 120 .. 373 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed