Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
00
р<р<=> 2
п ~ 1
Р _L Р <=> 2 [1 - М Уяп (хп)] = ОО.
в = 1
§ 6. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ И СИНГУЛЯРНОСТЬ 519
1ос
Следствие 2. Пусть Р<^Р. Тогда
'{2
1л = 1
М (ал In ап I а_х) < оо > = 1 => Р < Р.
Для доказательства достаточно заметить, что для любого лг^О
xlnx + 4-(l - х) 1 - л:1/*, (29)
2
и воспользоваться (16) и (24).
СО
Следствие 3. Поскольку ряд ? [1 - М(У<хп Iа^л-i)]" состоя-
П= 1
щий из неотрицательных (Р-п. н.) членов, сходится или расходится
одновременное рядом % | In М (Уа" | |, то утвержде-
ниям (16) и (17) теоремы 4 можно придать следующую форму:
Р < р <=> р | 2 i In М (Van | ^n-i) I < oo} = 1,
(30)
P_LP"p{f] | In M (У an | ^ n_x) | = ooj = 1. (31)
Следствие 4. Пусть существуют константы А и В такие, что 0 sS Л <; 1, В
Зз 0 и
Р {1 - Л 1 +В} = 1, П5г1.
~ 1ос
Тогда, если Р "С Р, то
P<P<=>pjf] M[(l-a,i)2|aF"_1]<ooJ=l,
Р _L Р <=> Р { f) М [(1 - а")2 \ eFл-1] = оо| = 1.
-гг ~ I
Для доказательства достаточно заметить, что для хе[1 - Л, 1+В], 0^Л<1,
В^О, найдутся такие константы с и С (0 <с< С < оо), что
с(1 -х)2<(1-)/х)2^С(1 -х)3. (32)
4. В обозначениях п. 2 предположим, что ? = (?ь ?2, ...) и i = (ii. 1г
• • •)- Две гауссовские последовательности, Рп~Ра, "5= 1 • Покажем, как
для таких последовательностей из полученных выше "предсказуемых"
критериев следует альтернатива Гаека -Фельдмана: либо Р~Р, либо Р J_P
520 гл. VII. МАРТИНГАЛЫ
По теореме о нормальной корреляции (теорема 2 § 13 гл. II) условные
математические ожидания М (хп | <^n-i) и М (х"\ e(c)"_i), где
М и М - усреднения по мерам Р и Р соответственно, являются
линейными функциями от хи ..., х"_х. Обозначим эти (линейные) функции
через а"_х (х) и ап-i (х) соответственно и положим
bn-i = (М [хп - а"_! (а:)]2)1-'",
К-i = (М [хп - ал_! (*)]2),/s.
По той же самой теореме о нормальной корреляции найдутся
последовательности е = (е1( е2, ... ) и ё = (ёх, ё2, • • • ), состоящие
из независимых гауссовских случайных величин с нулевым средним и
единичной дисперсией такие, что
хп = ял-1 (х) + Ь"^е" (Р-п.н.),
V / V V (OOj
хп = ап-1 (х) + Ь"^ё" (Р-п. н.).
Заметим, что в случае Ь"-х = 0 (?"-i -0) для построения величин 8" (ёл)
приходится, вообще говоря, расширять вероятностное пространство. Однако
если Ьп-х = 0, то распределение вектора (хъ ..., хп) сосредоточено
(Р-п.н.) на линейном многообразии
хп = an-i (х), и поскольку по предположению Рл ~ Рл, то bn~i = 0, <*п-
i(x) = an-i(x) и ап(х) = \ (Р- и Р-п.н.). Поэтому без ограничения
общности можно считать, что Ь% > 0, Ъ\ > 0 при всех nS^l, поскольку в
противном случае вклад соответствующих чле-
ОО
нов в сумму 2 [l - М ]/<*" !"$?"_!] (см. (16) и (17)) равен нулю.
л= 1
Используя предположения о гауссовости, из (33) находим, что для п 1
ал = dn L .ехр/- ~а"-' (ХУ- + , (34)
I Zon -*1 20л - 1 J
где d^l^vfrr1! и
"о (х) - М|х, Й0 (х) =м|ь "-Dgi, 4?-D|i.
Из (34)
In М (а? 1 &n-i) - 1 In (an-lW~an-lW)'.
2 1-J- ал-1 1 + d л-1 \ у
Поскольку In - < 0, то утверждение (30) принимает следую-
l+dn-i
§ 6. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ И СИНГУЛЯРНОСТЬ 521
щую форму:
1л = 1
+ '(°'-1 Л<оо} = 1. (35)
1+ал-1 ' Ьп_ 1 / -* J
СО 2 °°
Ряды 2 и 2 №-i-l) сходятся или расходятся
п = 1 Л~1 п = 1
одновременно, поэтому из (35) следует, что
A<P"p{2[(f-l)' + ^f]<oo} = l, (36,
Oi= 0 >
где Ап(х) = ап(х)-ап(х).
В силу линейности ап(х) и ап(х) последовательность случайных величин | -
fr--} >0 образует гауссовскую систему (как по
мере Р, так и по мере Р). Как следует из приводимой далее леммы, для
таких последовательностей имеет место следующий аналог закона "нуля или
единицы":
/,{2(т)'<0°}-,"2'й(тг1)<00- <37)
Поэтому из (36) следует, что
Л= О
и аналогичным образом
п - 0
Отсюда ясно, что если меры Р и Р не сингулярны, то Р Р. Но по
предположению РЛ~РЛ, пЭ*1; поэтому в силу симметрии Р<^Р. Тем самым имеет
место следующая
Теорема 5 (альтернатива Гаека - Фельдмана). Пусть ? - >= (|ь 1г, • • • )
и I = (1ь fa. • • • ) - две гауссовские последовательности, конечномерные
распределения которых эквивалентны: Рп~Рп,
622 ГЛ. VII. МАРТИНГАЛЫ
ttSsl. Тогда либо Р^Р, либо Pj_P. При этом
1-Л
f [м(^;+(|-i)],
п - О
<оо,
: ОО.
(38)
Докажем теперь закон "нуля или единицы" для гауссовских
последовательностей, использованный при доказательстве теоремы 5.
Лемма. Пусть р = фп)п > i - гауссовская последовательность, заданная на
(й, aF; Р). Тогда
Р{2 Р"<°°}=1<=> 2 Мр?,<оо.
\П=*\ ' П= 1
(39)
Доказательство. Импликация <= следует из теоремы Фубини. Установим
обратное утверждение, предположив сначала, что Мрл = 0, "Sal. С этой
целью достаточно показать, что
Mexpj- 2 Pi) - (40)
М |]
/1 = 1
П== 1
поскольку тогда из условия Р {? рл < оо} = 1 будет следовать, что правая
часть в (40) меньше бесконечности.
Зафиксируем некоторое п^1. Тогда из §§ 11 и 13 гл. II следует, что можно
найти такие независимые гауссовские случайные величины р^,,, k=\, ...,
г^п, с Мр*."=0, что
2 "= 2 PU
4=1 k=\
Если обозначить МР1, я = Я*,я, то легко найдем, что
