Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
§ 6. Абсолютная непрерывность и сингулярность вероятностных распределений
1. Пусть (Q, aF) - некоторое измеримое пространство с выделенным на
нем семейством о-алгебр (eF")" j. 1 таких, что oFi <=^
... ? / И
f = (1)
\п = 1 /
Будем предполагать, что на (Q, aF) заданы две вероятностные меры Р и Р.
Обозначим
Р" = Р1^", Р"=Р |=F "
- сужения этих мер на sF", т. е. пусть Р" и Р" -меры на (Q, aF"), причем
для В е aF"
Ря(Я) = Р(Я), Ра(В) = Р(В).
Определение 1. Вероятностная мера Р называется абсолютно непрерывной
относительно Р (обозначение: Р Р), если Р(А)=0 всякий раз, когда Р(Л) =
0, Ле/.
В случае Р Р и Р Р меры Р и Р называются эквивалентными (обозначение: Р ~
Р).
Меры Р и Р называются сингулярными или ортогональными, если существует
такое множество Л е/, что Р (А) = 1 и Р (А) = 1 (обозначение: Р _[_ Р).
Определение 2. Будем говорить, что мера Р локально
абсолютно непрерывна относительно меры Р (обозначение: Р<^р), если для
любого п S2 1
Р"<Р". (2)
Основные вопросы, рассматриваемые в настоящем параграфе, состоят в
выяснении условий, при которых из локальной абсо-
~ 1ос _
лютиои непрерывности Р < г следует выполнение свойств Р<Р, Р ~ Р, Р _L Р.
Как станет ясно из дальнейшего, теория мартингалов является тем
математическим аппаратом, который позволяет исчерпывающим образом
ответить на эти вопросы.
Итак, будем предполагать, что Р "s Р. Обозначим
512 ГЛ. VII. МАРТИНГАЛЫ
производную Радиона-Никодима меры Р" относительно Р". Ясно, что гп
являются ^"-измеримыми, и если то
| ^ d? _ рп (Л) = Р, (Л) -
Л ' Л
Отсюда следует, что относительно меры Р стохастическая последовательность
Z -(z", eFn)n^i является мартингалом.
Обозначим
200 = Птг".
Поскольку Мг"=1, то из теоремы 1 § 4 следует, что Р-п. н. существует
limz" и, значит, Р (г^ = lim г") = 1. (В ходе доказательства теоремы 1
будет установлено, что предел limz" существует и по мере Р, так что Р
(zOT = lim z") - 1.)
Ключевым моментом во всей проблематике "абсолютная непрерывность и
сингулярность" является
л*
Теорема 1 (разложение Лебега). Пусть Р < Р. Тогда для всякого Ле/
Р (Л) = S г""(Р + F" {Л П (*" = ">)}, (3)
л
причем меры р (А) = Р {A f] (гот = оо)} и Р (Л), Ле/, сингулярны.
Доказательство. Прежде всего отметим, что классическое разложение Лебега
устанавливает, что если Р и Р -две
меры, то найдутся и притом единственные меры Лир такие, что Р = Л + р,
где Л<Р и р_1_Р- Доказываемое утверждение (3) можно рассматривать как
конкретизацию этого разложения, связанную с предположением о том, что
P"<JPra>
Введем в рассмотрение вероятностные меры
Q = 1(P + P), = (Р^ + РД л5в1,
и обозначим
~dP dP ~ dPn . = dPn
3 dO.' 3 Ш 1,1 dQn' in dQa'
Поскольку "P (1 = 0) = P (j = 0) = 0, to Q (~j = 0, $ = 0) = 0
и, зна-
чит, на множестве П \ {j = 0, j = 0} корректно определена вели-
§ 6. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ И СИНГУЛЯРНОСТЬ 513
-чина }-г1> На множестве {)=0, } = 0} будем полагать ее равной нулю.
Так как P"<P"<CU, то (см. (II.7.36))
ие-й-й <4>
т. е.
= (Q-п. н.), (5)
отк уда
Zn = ln-inl (Q-П. H.),
где, как и раньше, на множестве {?л = 0, = О}, имеющем Q-
меру нуль, полагаем 5л-в71==0-
Каждая из последовательностей ($", sF") и (j", <fn) образует
(относительно меры Q) равномерно интегрируемый мартингал и,
следовательно, существуют пределы lira 5,, и limj". При этом (Q-п. н.)
-V
lim in - Ь, lim 8л = ?. (6)
Отсюда и из соотношений zn = (Q-п. н.) и Q ($ =0, 5 = 0) =
= 0 Еытекает, что Q-п. н. существует Нтг" = г00, равный j'j-1-Ясно, что
P<Q, P<Q. Тем самым Птг" существует как по мере Р, так и по мере Р.
Пусть теперь
Я, (А) = J z^dP, р (А) = Р {А П (гот = оо)}.
А
Для доказательства (3) надо показать, что
Р (А) = Я(А) -}-р (А), Я<Р, p_LP.
Имеем
Р(А)= $ jdQ= 5ш d& + SЛ1 - S]=
А А (r) А (7*
= J"?rfP+rtl-ii]rfp=a ^да^Р + Р{АЛ(5-0)},
А А А
где последнее равенство следует из того, что
Р{Т-г4-1, ^ {2м =5' Г1} = I•
514 гл. VII. МАРТИНГАЛЫ
Далее,
Р{лп(а=0)} = р{лп(з=0)п(з>0)} =
*= р {А Л (j • Г1 = оо)} = Р {А п (2да5) = оо},
что вместе с (7) доказывает разложение (3).
Из конструкции меры К ясно, что Я<^Р, причем Р(гда< < оо) = 1. И в то же
время р (гда < оо) = Р {(2M < оо) f| (гю =" = оо)}=0. Тем самым теорема
доказана.
Из разложения Лебега (3) вытекают следующие полезные критерии абсолютной
непрерывности и сингулярности для локально абсолютно непрерывных
вероятностных мер.
"v 1ос
Теорема 2. Пусть РР, т. е. Р"Р", п1. Тогда
Р<Р"Мгсо=1оР(гю<оо) = 1, (8)
Р1РоМгсо = ОоР(гю = оо),= 1, (9)
где М - усреднение по мере Р.
Доказательство. Полагая в (3) Л = ?2, находим, что
= 1 <=> Р (гда = оо) = 0, (10)
Мг00 = ОоР(200 = оо) = 1. (11)
Если Р (г^ = оо) = 0, то снова из (3) следует, что Р Р.
Обратно, пусть Р<^Р. Тогда поскольку Р(г00 = оо) = 0, то
Р(гоо = 00)=°-
Далее, если Р _]_ Р, то существует множество Ве/ с Р(В)=1 и Р(В)=0. Тогда
из (3) Р (В f| (2те = °о)) = 1 и, значит, Р(2оэ = оо) = 1. Если же Р(гоэ
= оо) = 1, то свойство Р J_P очевидно, поскольку Р (гю = оо) = 0.
