Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
что вместе с (7) и (8) приводит к требуемому неравенству. Доказательство
теоремы 1. Достаточно показать, что
/П
(10)
& = 2
И
firn 1пР(т>я) / У [Ag(?)]2^ -4- (И)
/ *-а
С этой целью рассмотрим (неслучайную) последовательность (ая)л>1 с
"1 = 0, ал = Дg(n), п^2,
и вероятностные меры (Рп)л>1, определенные формулой (5). Тогда в силу
неравенства Гёльдера
Рл (т> п) = М/ (т> п) гп ^ (Р (т > я))1/? (Mz?)1/p, (12)
где р> 1 и q=fzrv
Последний сомножитель легко вычисляется в явном виде:
(Mzn)1/P = ехр J № (*)Pj- (13)
Оценим теперь вероятность Рл(т>я), входящую в левую часть (12). Имеем
Рц(т>л) =Pn{Si,^g{k), 1 <?s?n) =¦
= Рл >=^(1), l^k^ti),
§ 7. ОБ АСИМПТОТИКЕ ВЕРОЯТНОСТИ ВЫХОДА 527
k
Где Sk = 2 ii, 1 i = Si - "(• Согласно лемме 1 величины flt ..., |" г= 1
по мере Р" являются независимыми и нормально распределенными,
1). Тогда по лемме 2 (примененной к b - -g(l), Р = РЛ, Xn = Sn) находим,
что
(14)
где С -некоторая константа.
Тогда из (12) -(14) следует, что для любого р>1
Р (т > я) Срехр |- ~ 2[^(^)]2-^1пл|, (15)
где Ср -некоторая константа. Из условий теоремы и в силу
произвольности р>1 из (15) получаем оценку снизу (10).
Для получения оценки сверху (11) прежде всего заметим, что, поскольку 0
(Р- и Р"-п. н.), то в силу (5)
Р (т > я) = №1"/ (т > я) Zn\ (16)
где М" - усреднение по мере Р".
В рассматриваемом нами случае cti = 0, ап = Дg (я), я 2, поэтому для я^2
гп1 = ехр /- J Д^г (k) ¦ g* +1 2 [Ag (?)]2)-
1 *=2 k~2 J
По формуле суммирования по частям (см. доказательство
леммы 2 в § 3 гл. IV)
J] Дg (k) ¦ Ik = Ag (я) • Sn - J] S^A (Ag (k)),
k= 2 k= 2
откуда с учетом того, что по условиям теоремы Ag(k)^0, Д (Ag (&)) 0,
находим, что на множестве {т> я} = {S*3sg (k),
l^k^n}
2 Ag(k) • ^ Ag(я) • g (я) - J]g(*-l)A(Ag(*))-bAg(2)-
*=2 А=3
- 2 [Ag(*)]2+g(l)Ag(2)-g^g(2;j,
4= 2
628 гл. VII. МАРТИНГАЛЫ
Итак, из (16)
Р (т > п) ^
<ехр (-12 [л?{к)]г (2)} 1Й"/ (т>п)<ГЕ'** <2),
i=2
где
М J (т > п) e~^iM(2) Мглe_l<лg(2, = Ме-|'Лг(2) < со.
Поэтому
где С - некоторая положительная константа, что и доказывает оценку сверху
(11).
Теорема доказана.
3. Идеи абсолютно непрерывной замены меры позволяют исследовать
аналогичную задачу и для случая двусторонних границ. Приведем (без
доказательства) один из результатов в этом направлении.
Теорема 2. Пусть ?if |2, ... - независимые одинаково распределенные,
0, 1), случайные величины. Предположим,
что f - f (п) - положительная функция такая, что
f(n)-> со, п-+ со,
2 [Af(k)f=ol 2 t2ik) , лч-оо.
k=2 \k = l /
Тогда, если
o = inf{nSsl: |S"|Ss/(n)},
то
P(a>ra) = expJ-^ У ^*(А)(1+o(l))L п->со. (17)
4. Задачи.
1. Показать, что последовательность, определенная в (4), является
мартингалом.
2. Установить справедливость формулы (13),
3. Доказать формулу (17).
ГЛАВА VIII
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН,
ОБРАЗУЮЩИЕ МАРКОВСКУЮ ЦЕПЬ
§ 1. Определения и основные свойства
1. В главе I (§ 12) для случая конечных вероятностных пространств были
изложены основные принципы, положенные в основу понятия марковской
зависимости между случайными величинами. Там же были приведены
разнообразные примеры и рассмотрены простейшие закономерности, которыми
обладают случайные величины, связанные в цепь Маркова.
В настоящей главе дается общее определение стохастической
последовательности случайных величин, связанных марковской зависимостью,
и основное внимание уделяется изучению асимптотических свойств марковских
цепей со счетным множеством состояний.
2. Пусть (Q, aF, Р) - вероятностное пространство с выделенным на нем
неубывающим семейством ст-алгебр (aF"), aF0 s aFi s E... E aF.
Определение. Стохастическая последовательность X - (Xn, aF") называется
марковской цепью или цепью Маркова (по отношению к мере Р), если для
любых п^т^О и любого B^.<M(R)
P{Xat=B\fm\ = P{Xa = B\Xm\ (Р-п. н.). (1)
Свойство (1), называемое марковским свойством, допускает различные
эквивалентные формулировки.
Так, (1) равносильно тому, что для любой ограниченной борелевской функции
g=g(x)
Mfe(X")|aFm] = M[g(Xn)|Xm] (Р-п. н.). (2)
Свойство (1) эквивалентно также тому, что при фиксированном "настоящем"
Хт "будущее" Б и "прошлое" П независимы, т. е.
Р (БП j Хт) - Р (Б (Хт) Р (П j Хт), (3)
где событие Б ест {со: Xit i^m}, а событие т^п.
530
ГЛ. VIII. МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ
В том частном случае, когда
а?"п - "F"п =о{(?>: Aq, Х"}
и стохастическая последовательность X - (Хп, "F*) образует марковскую
цепь, принято говорить, что сама последовательность (Хп) является
марковской цепью. В этой связи полезно отметить, что если X = (Х", eFn) -
цепь Маркова, то (Хп) также есть марковская цепь.
Замечание. В данном выше определении предполагалось, что величины Хп
принимают действительные значения. Аналогичным образом дается определение
марковской цепи и в том случае, когда величины Хп принимают значения в
некотором измеримом пространстве (Е, Ш). При этом, если все одноточечные
множества измеримы, то это пространство называют фазовым и говорят, что X
