Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
м 2 РЬ = Е
1
Мехр (- 2 Р*." = П (1 + 2Чл)",/й-
\ k=\ / k=\
Сравнивая правые части в (41) и (42), получаем
(41)
(42)
п г \ с м-ei; 1 -2 - 2 Щ
м 2Р* = М 2 Р*."^ *=i k~\ 1 II 2 1 Ме *=>
§ 6. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ И СИНГУЛЯРНОСТЬ 523
откуда предельным переходом (при п-*-со) получаем требуемое неравенство
(40).
Предположим теперь, что Mf)"^0.
Рассмотрим новую последовательность -Р = (РлЬз? i с тем же
распределением, что и у последовательности Р = (Р")л>ь и не зависящую от
нее (в случае необходимости расширяя исходное
вероятностное пространство). Тогда, если р|^] P*<ooJ=l, то Р | 2 (Рл -
Рл)2 <со|= 1, и по доказанному
СО СО
2 2 М (Р" - Мрл)2 = 2 М (Рл - Р л)2 < со.
71 = 1 П- 1
Так как
(Мрл)2 sg 2fi2n -j- 2 (Р" - МРл)2,
СО
то 2 (МРп)2<со и, значит,
П~ 1
СО СО со
2 МР2"= 2 (МРп)2+ 2 М (Рл - Л4р")2<оо.
п= 1 п= 1 гг = 1
Лемма доказана.
5. Задачи.
1. Доказать справедливость утверждений (6).
2. Пусть Рл~Рп, Я5э 1. Показать, что
Р ~ р <=> Р 1гоо < со} = Р {г^ > 0} = 1,
PJ_P<=>P {2^ = 00} = ! или Р{гоо = 0} = 1.
3. Пусть Р"<Рл, я5&1, т -момент остановки (относительно (aF")), Рт=
Р| aFT и Рт = Р |aFT - сужения мер Р и Р на о-ал-
гебру (r)Ft. Показать, что Pt^Pt. если и только если {т=со} =
= {2оо<с°} (Р'п- н.). (В частности, если Р{т<сю} = 1, то
Рт<Рт-)
4. Доказать формулы (21) и (22).
5. Проверить справедливость неравенств (28), (29), (32).
6. Доказать формулу (34).
7. Пусть в п. 2 последовательности ? = (^, ?2" • • •) и | =я
- (fi> ?21 • • •) состоят из независимых одинаково распределенных
случайных величин. Показать, что если Pg ^Д|,, то Р<^Р в том
и только том случае, когда меры Р^ и Pg, совпадают, Если же
P\t <ph и р%, ^р1ч то Р _|_Р.
524
ГЛ. VII. МАРТИНГАЛЫ
§ 7. Об асимптотике вероятности выхода
случайного блуждания за криволинейную границу
1. Пусть ?i, ... - последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных [величин, Sn = ?i +... + g", g =* = g(n) -
некоторая "граница", "5s.l, и
T = inf{"^= 1: Sn<g(n)\
- тот первый момент, когда случайное блуждание (Sn)n^i окажется ниже
границы g = g(n). (Как обычно, т = оо, если {• }= ф.)
Отыскание точного вида распределения для момента т является весьма
трудной задачей. В настоящем параграфе находится асимптотика вероятности
Р(т>л) при оо для широкого класса границ g = g(n) и в предположении, что
величины нормально распределены. Применяемый метод доказательства основан
на идее "абсолютно непрерывной замены меры" с использованием ряда
изложенных выше свойств мартингалов и марковских моментов.
Теорема 1. Пусть |2" ... - независимые одинаково распределенные, ^г(0,
1), случайные величины. Предположим, что граница g = g(n) такова, что g
(1) < 0 и для п 3= 2
0<Д?(п+ l)^Ag(n), (1)
где Ag(n) = g(n)-g(n- 1) и
Inп = о( 2 [Д?(?)А оо. (2)
\А=2 /
Тогда
Р(т>л) = ехр|-^ J [A^W(l+o(l))J. ао. (3)
Прежде чем переходить к доказательству, отметим, что условия (1) и (2)
выполнены, если, скажем,
g(n) = anv-{-b, l/2<Cv"^l, a-\-b<. О,
или (при достаточно больших п)
g(n) = nvL(n), 1/2 eg v ^ 1,
где L (п) - некоторая медленно меняющаяся функция (например, L{n) = C (In
п)р с любым р при 1/2<v<1hcP>0 при v = 1/2).
2. Следующие два вспомогательных предложения будут использоваться при
доказательстве теоремы 1.
Будем предполагать, что gi, |2. ... - последовательность независимых
одинаково распределенных случайных величин, ' <~s^(0, 1). Обозначим аГ0 =
{<?>, П}, вГ" = а{со; ?i, ..., 1"}, и
$ 7. ОБ АСИМПТОТИКЕ ВЕРОЯТНОСТИ ВЫХОДА 525
пусть а = (ап, eF^) - некоторая предсказуемая последовательность с Р (|
ап | ==? С) = 1, я 5s 1, где С - некоторая константа. Образуем
последовательность г - (2п, &F") с
2л = ехр|^ у 2 "*(' l* = i *=i J
(4)
Нетрудно проверить, что (относительно меры Р) последовательность z=(zn,
eF") образует мартингал с Mz" = l, n^sl.
Зафиксируем некоторое я^1 и на измеримом пространстве (Q, eF") введем
вероятностную меру Р", полагая
Рл(Л) = М/(Л)гл, Ле/". (5)
Лемма 1. Относительно меры Р" случайные величины \к = = - а*, 1
sg; k sg я, являются независимыми и нормально распре-
деленными, f* (c)F" (О, 1).
Доказательство. Пусть символ М" означает усреднение по мере Р". Тогда для
Kk^R, lsg&sgn,
Мл ехр ji Mexpji J] гл =
М expji J zn-i • М jexp (^iXn (?" - ап) 4-
+ "л^л-^)|еГл_1}] = expji 2] hlk\zn-i ехр |~}= ... = ехр/~ 2!^}'
л-1
= М
А = 1
k~ 1
Теперь требуемое утверждение вытекает из теоремы 4 § 12 гл. II.
Лемма 2. Пусть X = (Хп, eFп)п ^ i - квадратично интегрируемый мартингал с
нулевым средним и
сг = inf {я Ss 1: - b},
где константа b> 0. Предположим, что
Р(Х1<-Ь)>0.
Тогда существует константа С > 0 такая, что для всех п 5s 1
526 ГЛ. VII. МАРТИНГАЛЫ
Доказательство. По следствию 1 к теореме VII.2.1 МХам = 0, откуда
- М/ (osg п) Ха = М/(о> п) Хп. (7)
На множестве {osS/i}
- Ха b > 0.
Поэтому при п ^ 1
- М/ (a sg; я) Ха ЬР (а ^ я) Зг ЬР (о = 1) = ЬР (Хх < - Ь) > 0. (8)
С другой стороны, в силу неравенства Коши - Буняковского
М/(а>я)Хл<[Р(а>я).МХ"]1/", (9)
