Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема доказана.
2. Из теоремы 2 ясно, что критерии абсолютной непрерывности и
сингулярности можно выражать или в терминах меры Р (и проверять равенства
= 1 или Мг^, = 0) или же в терминах меры Р (и тогда проверять, что Р (г^
< оо) = 1 или Р (гда = оо) = 1).
В силу теоремы 5 § 6 гл. II условие Мг^-1 равносильно условию равномерной
интегрируемости (по мере Р) семейства \zn}n^i- Это обстоятельство
позволяет давать простые достаточные условия для абсолютной непрерывности
Р<^Р. Например, если
sup М [zn 1 п+2л] < оо (12)
§ 6. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ И СИНГУЛЯРНОСТЬ 515
или если
sup Mz"+8 < оо, е>0, (13)
П
то, согласно лемме 3 § 6 гл. II, семейство случайных величин 1 будет
равномерно интегрируемым и, значит, Р<}Р.
Во многих же случаях при проверке свойств абсолютной непрерывности или
сингулярности предпочтительнее использовать критерии, выраженные в
терминах меры Р, поскольку тогда дело сводится к исследованию P-
вероятности "хвостового" события {2ОТ < оо}, а для этого можно
использовать утверждения
типа закона "нуля или единицы".
В качестве иллюстрации покажем, как из теоремы 2 выводится альтернатива
Какутани.
Пусть (Q, aF, Р) - некоторое вероятностное пространство, СRет, <?@со) -
измеримое пространство числовых последовательностей х = (лу, хъ, ...) с
33^ = 33 {Р(tm)), и пусть 33n = o{x: (xlt ..., *")}. Предположим, что ? =
(?!, ?2, ...) и g = (Ij, |2, ...)-две последовательности, состоящие из
независимых случайных величин.
Обозначим через Р и Р распределения вероятностей на (R00, 33^) для | и 1
соответственно, т. е.
Р(В) = Р{?еВ}, Р(В) = Р{1еВ}, Ве^.
Пусть также
Рп = Р 133 п, Рп - Р\ 33п
- сужения мер Р и Р на 33п и
РЕя(Л) = Р(?яе=Л),
Я6-я(Л) = Р(1яеЛ), Аей(П
Теорема 3 (альтернатива Какутани). Пусть S = (Si, ?2> и f = (|х, 12,...)-
последовательности из независимых случайных величин, для которых |
Pln<Pln, 1. (14)
Тогда или Р <^Р, или Р J_ Р.
Доказательство. Условие (14), очевидно, равносильно условию, что Рп<Рп,
т. е. Р < Р. Ясно, что
dP"
516 ГЛ. VII МАРТИНГАЛЫ
где
dpl-
Qi(xi)=-Jp^{xl). (15)
Следовательно,
{х: гсо<оо} = {х: In 2M < со} = |х: 1п<7" (*") < оо|.
Событие |х: In qi (х{) < оо| является "хвостовым". Поэтому
в силу закона "нуля или единицы" Колмогорова (теорема 1 § 1 гл. IV)
вероятность Р {х: г< оо} принимает только два значения (0 или 1) и,
значит, по теореме 2 или Р J_P, или Р<^Р. Теорема доказана.
3. Следующая теорема дает критерий абсолютной непрерывности и
сингулярности, выраженный в "предсказуемых" терминах.
^ 1ос
Теорема 4. Пусть Р ^Р,
ал = г"2(c)_,, /г 1,
с г0 = 1. Тогда ("Г0 = {ф, ?2})
Р <Р <=> Р | ^ [l - М (Van | ^-г)] < сю J = 1, (16)
Р_]_Р<=>р||]^[1-М (Van | J'n-t)] = ooj = 1. (17)
Доказательство. Поскольку
Рл{г" = 0}= J г" dP = О,
{гл = °}
то (Р-п. н.)
гл= П a* = exp(S lna4- (18)
А=1 Ц=1 )
Полагая в (3) Л = {гоо = 0}, находим, что Р{гсо = 0} = 0. Поэтому из (18)
(Р-п. н.)
§ 6. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ И СИНГУЛЯРНОСТЬ 517
Введем функцию
( х, |*|< 1,
[ sign*, |*|> 1.
Тогда
|-oo<lim 2] lna* < со| = |- со < lim ^ ы(1пай)<оо|. (20)
Пусть М означает усреднение по мере Ри rj - аГ"-измеримая интегрируемая
случайная величина. Из свойств условных математических ожиданий следует
(задача 4), что
Z"_!M (Т| I aF"_l) = М (t]Z" I JVi) (Р- И Р-П. Н.), (21)
М (п | eF"_i) = zf- iM (r)z" 13n-i) (Р-п. н.). (22)
Вспоминая, что ап = z(r)- \гп, из (22) получаем следующую полезную формулу:
м (ri I <Fn-i) = М (a"T| I З'п-г) (Р-п. н.), (23)
из которой, в частности, вытекает, что
М(а"|аГ"_1) = 1 (Р-п. н.). (24/
Из (23)
М [и (1па") | <Fn-i] = М [апи (1па") | (Р-п. н.).
Поскольку хи(\пх)^х-\ для всех х^О, то в силу (24)
М [U (1П 0С") | efn-i] ^ 0 (Р-п. н.).
Отсюда следует, что стохастическая последовательность X =?
(r)= af/t) С
^/.= 2] "Onа*)
к = 1
относительно меры Р является субмартингалом, причем | АХп | =s
е=|ы(1пая)|< 1.
Тогда по теореме 5 из § 5 (Р-п. н.)
|-оо < lim 2] и (In <хй) < оо j =
= { 2 ^ 1" (ln а*) + "2 (ln а*) I ^k-i] < ooj. (25)
518 гл. VII. МАРТИНГАЛЫ
Тем самым из (19), (20), (22) и (25) находим, что (Р-п. н.)
{2со < со} = | 2 м [ы (In а*) + м2 (In aft) I sFft-i] < со j =
= | J] M ["*" (ln а*) + (In a*,) | sFft-i] < coj и, следовательно, в силу
теоремы 2
P<P<=>pj J] M[aftU(lnaft)+aftW2(lnaft)|eFft_1]<co|= 1, (26)
Р-1_Р<=>Р{Л м [aftu (ln aft) + a ku2 (ln ak) \ JVi] = col = 1. (27)
U = i '
Заметим теперь, что в силу (24)
М [(1 - V^nT | fn-i] = 2М[1 -Уай\рл-1] (Р-п. н.)
и для всех х^О найдутся такие константы А и В (0 < А <В<1 со), что
А (1 - y~xf^xu (lnx) + ;ш2(1пл:) + 1 - х^В (1 - У~х)*. (28)
Поэтому утверждения (16) и (17) следуют из (26), (27) и (24), (28).
Теорема доказана.
Следствие 1. Если для любого л5=1 ст-алгебры ст(а") и
/ ~л ~ 1ос
<Уп-\ независимы по мере Р (или Р) и Р^Р, то имеет место альтернатива:
либо Р<^Р, либо Pj_P. При этом
Р<Р" ^ [l-MVr""]<oo,
П = I 00
Р_1_Р<=> 2 [1 - Ml/a"] = oo.
/1=1
В частности, в ситуации Какутани (см. теорему 3) an - qn и